Dada a função f(x)=\frac{6}{1+2 e^{-x}}, definida para todo x \in \mathbb{R},
(a) Decida se f é crescente ou é decrescente.
(b) Dê um esboço detalhado de seu gráfico, destacando suas retas assíntotas.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{6}{1+2e^{-x}},
e pede (a) decidir se f é crescente ou decrescente e (b) esboçar o gráfico destacando assíntotas. Para isso vamos usar cálculo de derivada para monotonicidade e limites em \pm\infty para assíntotas horizontais.

Passo 2

Reescrevemos
f(x)=6\bigl(1+2e^{-x}\bigr)^{-1}
e aplicamos a regra da cadeia. Em display:
f'(x) =6\cdot(-1)\bigl(1+2e^{-x}\bigr)^{-2}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(1+2e^{-x}\bigr) =6\cdot(-1)\bigl(1+2e^{-x}\bigr)^{-2}\cdot\bigl(-2e^{-x}\bigr) =\frac{12e^{-x}}{\bigl(1+2e^{-x}\bigr)^{2}}.

Passo 3

Como e^{-x}>0 para todo x e \bigl(1+2e^{-x}\bigr)^{2}>0, segue que
f'(x)=\frac{12e^{-x}}{(1+2e^{-x})^{2}}>0\quad\forall x\in\mathbb{R},
logo f é estritamente crescente.

Passo 4

Calculamos os limites em \pm\infty:
\lim_{x\to+\infty}f(x) =\frac{6}{1+2\cdot0}=6, \quad \lim_{x\to-\infty}f(x) =\frac{6}{1+2\cdot\infty}=0.
Isso indica assíntotas horizontais em y=6 e y=0.

Passo 5

Para orientar o esboço, note que
f(0)=\frac{6}{1+2}=2,
então o gráfico cruza (0,2). Como f sobe suavemente de 0 (quando x\to-\infty) até 6 (quando x\to+\infty), a curva é do tipo sigmoide, ficando sempre entre as retas y=0 e y=6.

Resposta

(a) f é estritamente crescente.
(b) O gráfico é uma curva sigmoide que cresce de y=0 até y=6, com assíntotas horizontais em y=0 e y=6 e passando por (0,2).

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