Dada a função
, definida para todo
,
(a) Decida se
é crescente ou é decrescente.
(b) Dê um esboço detalhado de seu gráfico, destacando suas retas assíntotas.
(a) Decida se
(b) Dê um esboço detalhado de seu gráfico, destacando suas retas assíntotas.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede (a) decidir se
é crescente ou decrescente e (b) esboçar o gráfico destacando assíntotas. Para isso vamos usar cálculo de derivada para monotonicidade e limites em
para assíntotas horizontais.
Passo 2
Reescrevemos
e aplicamos a regra da cadeia. Em display:
Passo 3
Como
para todo
e
, segue que
logo
é estritamente crescente.
Passo 4
Calculamos os limites em
:
Isso indica assíntotas horizontais em
e
.
Passo 5
Para orientar o esboço, note que
então o gráfico cruza
. Como
sobe suavemente de
(quando
) até
(quando
), a curva é do tipo sigmoide, ficando sempre entre as retas
e
.
Resposta
(a)
é estritamente crescente.
(b) O gráfico é uma curva sigmoide que cresce de até
, com assíntotas horizontais em
e
e passando por
.
(b) O gráfico é uma curva sigmoide que cresce de