Considere a função y=f(x) dada implicitamente pela equação y e^{y}=e^{(x+1)}. A equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (0,1) é:
Escolha uma opção:
a. Não existe reta tangente no ponto (0,1).
b. 2 y+x-2=0
c. 2 y-x=0
d. 2 y-x-2=0
e. y=1

Passo 1

O enunciado define y=f(x) implicitamente pela equação
y\,e^{y} = e^{x+1},
e pede a reta tangente ao gráfico dessa função no ponto (0,1). Vamos usar diferenciação implícita para achar f'(x) e depois montar a equação da reta com coeficiente angular e ponto dados.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados de
y\,e^{y} = e^{x+1}
em relação a x, aplicamos regra do produto em y\,e^y (onde y=y(x)) e regra da cadeia em e^{x+1}. Obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(y\,e^y\bigr) = \bigl(y'\bigr)e^y + y\,e^y\,y' = y'\,e^y\,(1+y),
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x+1}\bigr) = e^{x+1}.
Logo a igualdade das derivadas é
y'\,e^y\,(1+y) = e^{x+1}.
Isolando y',
y' = \frac{e^{x+1}}{e^y\,(1+y)}.

Passo 3

No ponto (0,1) temos x=0 e y=1. Substituindo em
y' = \frac{e^{x+1}}{e^y\,(1+y)}
vem
y' \bigl|_{(0,1)} = \frac{e^{0+1}}{e^1\,(1+1)} = \frac{e}{e\cdot 2} = \frac12.

Passo 4

A reta tangente em (x_0,y_0)=(0,1) com coeficiente angular m=\tfrac12 tem equação ponto-inclinação
y - y_0 = m\,(x - x_0),
ou seja
y - 1 = \frac12\,x \quad\Longrightarrow\quad y = \frac12\,x + 1.
Multiplicando ambos os lados por 2 e colocando em forma geral,
2y = x + 2 \quad\Longrightarrow\quad 2y - x - 2 = 0.

Resposta

2y - x - 2 = 0 (alternativa d)

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