Considere a função
f(x)=\frac{x}{x^{2}-9}
(a) Encontre o domínio de f, os pontos de intersecção com os eixos coordenados e as assíntotas horizontais e verticais, caso existam;
(b) Indique os intervalos de crescimento, decrescimento, os pontos críticos e os máximos e mínimos locais de f, caso existam;
(c) Estude a concavidade da função f e determine os pontos de inflexão, caso existam;
(d) Esboce o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado pede um estudo completo da função
f(x)=\frac{x}{x^{2}-9}
Isso envolve quatro etapas:
  1. determinar domínio, interseções com eixos e assíntotas;
  2. achar f'(x), intervalos de crescimento/decrescimento, pontos críticos e extremos locais;
  3. achar f''(x), estudar concavidade e pontos de inflexão;
  4. montar um esboço gráfico compatível com tudo isso.

Passo 2

Domínio: excluímos os zeros do denominador x^{2}-9=0, isto é, x=\pm3.
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{-3,3\}.
Interseções com eixos:
  • Eixo x (fazer f(x)=0): só numerador x=0, logo ponto (0,0).
  • Eixo y (colocar x=0): dá f(0)=0, o mesmo ponto (0,0).
Assíntotas verticais: em x=-3 e x=3, pois o denominador muda de sinal e \lvert f(x)\rvert\to\infty.
Assíntota horizontal: para x\to\pm\infty,
f(x)=\frac{x}{x^2-9}\sim\frac{x}{x^2}=\frac1x\to0,
logo y=0.

Passo 3

Derivada: usando quociente,
f'(x)=\frac{1\cdot(x^2-9)-x\cdot2x}{(x^2-9)^2} =\frac{x^2-9-2x^2}{(x^2-9)^2} =\frac{-(x^2+9)}{(x^2-9)^2}.
Note que x^2+9>0 e (x^2-9)^2>0 em todo o domínio, então f'(x)<0 sempre.
Isso implica que f é estritamente decrescente em cada um dos três intervalos (-\infty,-3), (-3,3) e (3,\infty).
Não há pontos onde f'(x)=0, portanto não existem máximos nem mínimos locais.

Passo 4

Segunda derivada: seja
u(x)=-(x^2+9),\quad v(x)=(x^2-9)^2.
Calculando
u'(x)=-2x,\quad v'(x)=2(x^2-9)\cdot2x=4x(x^2-9),
temos
f''(x) =\frac{u'v-uv'}{v^2} =\frac{-2x\,(x^2-9)^2+4x\,(x^2+9)(x^2-9)}{(x^2-9)^4} =\frac{2x(x^2-9)(x^2+27)}{(x^2-9)^4} =\frac{2x(x^2+27)}{(x^2-9)^3}.
Como x^2+27>0, o sinal de f''(x) é o de
x\cdot(x^2-9).
Fazendo o quadro de sinais de x(x^2-9)=x(x-3)(x+3), em cada intervalo do domínio:
  • (-\infty,-3): x<0, x^2-9>0 f''<0 (concava para baixo).
  • (-3,0): x<0, x^2-9<0 f''>0 (concava para cima).
  • (0,3): x>0, x^2-9<0 f''<0 (concava para baixo).
  • (3,\infty): x>0, x^2-9>0 f''>0 (concava para cima).
Ponto de inflexão real ocorre quando muda concavidade e está no domínio: isso só acontece em x=0, pois x=\pm3 não estão no domínio. Em x=0 temos de fato mudança de concavidade e f(0)=0.

Passo 5

Esboço do gráfico:
  • Vertical em x=-3 e x=3.
  • Horizontal em y=0.
  • Passa por (0,0).
  • É decrescente em cada intervalo, negativo em (-\infty,-3), positivo em (-3,0), negativo em (0,3), positivo em (3,\infty).
  • Concavidade alterna conforme item anterior, com ponto de inflexão em (0,0).

Resposta

(a) \text{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{-3,3\}, interceptos em (0,0), assíntotas verticais x=-3, x=3 e horizontal y=0.
(b) f'(x)<0 em todo o domínio, logo f é estritamente decrescente em (-\infty,-3), (-3,3), (3,\infty). Não há pontos críticos que zere f' nem extremos locais.
(c) f''(x)=\dfrac{2x(x^2+27)}{(x^2-9)^3}. Concavidade: para x<-3 e 0<x<3, concava para baixo; para -3<x<0 e x>3, concava para cima. Ponto de inflexão em (0,0).
(d) Gráfico conforme descrito no passo 5.

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