Considere a função
(a) Encontre o domínio de
, os pontos de intersecção com os eixos coordenados e as assíntotas horizontais e verticais, caso existam;
(b) Indique os intervalos de crescimento, decrescimento, os pontos críticos e os máximos e mínimos locais de
, caso existam;
(c) Estude a concavidade da função
e determine os pontos de inflexão, caso existam;
(d) Esboce o gráfico de
.
(b) Indique os intervalos de crescimento, decrescimento, os pontos críticos e os máximos e mínimos locais de
(c) Estude a concavidade da função
(d) Esboce o gráfico de
Passo 1
O enunciado pede um estudo completo da função
Isso envolve quatro etapas:
- determinar domínio, interseções com eixos e assíntotas;
- achar
, intervalos de crescimento/decrescimento, pontos críticos e extremos locais; - achar
, estudar concavidade e pontos de inflexão; - montar um esboço gráfico compatível com tudo isso.
Passo 2
Domínio: excluímos os zeros do denominador
, isto é,
.
Interseções com eixos:
- Eixo
(fazer ): só numerador , logo ponto . - Eixo
(colocar ): dá , o mesmo ponto .
Assíntotas verticais: em
e
, pois o denominador muda de sinal e
.
Assíntota horizontal: para ,
Assíntota horizontal: para
logo
.
Passo 3
Derivada: usando quociente,
Note que
e
em todo o domínio, então
sempre.
Isso implica que é estritamente decrescente em cada um dos três intervalos
,
e
.
Não há pontos onde , portanto não existem máximos nem mínimos locais.
Isso implica que
Não há pontos onde
Passo 4
Segunda derivada: seja
Calculando
temos
Como
, o sinal de
é o de
Fazendo o quadro de sinais de
, em cada intervalo do domínio:
-
: , ⇒ (concava para baixo). -
: , ⇒ (concava para cima). -
: , ⇒ (concava para baixo). -
: , ⇒ (concava para cima).
Ponto de inflexão real ocorre quando muda concavidade e está no domínio: isso só acontece em
, pois
não estão no domínio. Em
temos de fato mudança de concavidade e
.
Passo 5
Esboço do gráfico:
- Vertical em
e . - Horizontal em
. - Passa por
. - É decrescente em cada intervalo, negativo em
, positivo em , negativo em , positivo em . - Concavidade alterna conforme item anterior, com ponto de inflexão em
.
Resposta
(a)
, interceptos em
, assíntotas verticais
,
e horizontal
.
(b) em todo o domínio, logo
é estritamente decrescente em
,
,
. Não há pontos críticos que zere
nem extremos locais.
(c) . Concavidade: para
e
, concava para baixo; para
e
, concava para cima. Ponto de inflexão em
.
(d) Gráfico conforme descrito no passo 5.
(b)
(c)
(d) Gráfico conforme descrito no passo 5.