Demonstre a identidade
2 \operatorname{arcsen}(x)=\operatorname{arccos} \left(1-2 x^{2}\right), \quad x \geq 0 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para x\ge0, vale
2\,\operatorname{arcsen}(x)=\operatorname{arccos}\bigl(1-2x^2\bigr).
O conteúdo que vamos usar é a definição das funções inversas \operatorname{arcsen} e \operatorname{arccos} e a fórmula do cosseno do ângulo duplo:
\cos(2\theta)=1-2\sin^2\!\theta.

Passo 2

Defina
\theta=\operatorname{arcsen}(x).
Por definição de \operatorname{arcsen}, temos \sin\theta = x e, como x\ge0, o ângulo \theta está no intervalo [0,\tfrac\pi2]. Em particular,
0\le 2\theta\le \pi.

Passo 3

Aplique a fórmula do cosseno de ângulo duplo a \theta:
\cos(2\theta)=1-2\sin^2\!\theta.
Substituindo \sin\theta = x, fica
\cos(2\theta)=1-2x^2.

Passo 4

Como 2\theta\in[0,\pi], a função \operatorname{arccos} devolve exatamente esse valor quando aplicada a \cos(2\theta). Ou seja,
\operatorname{arccos}\bigl(1-2x^2\bigr) =\operatorname{arccos}\bigl(\cos(2\theta)\bigr) =2\theta.

Resposta

Da sequência acima obtemos
\operatorname{arccos}\bigl(1-2x^2\bigr)=2\theta =2\,\operatorname{arcsen}(x),
o que demonstra a identidade desejada.

Exercícios relacionados