Considere a função
.
(a) (1 ponto). Em quais intervalos esta função é contínua?
(b) (6 pontos). Verifique se a integral
é convergente ou divergente.
(a) (1 ponto). Em quais intervalos esta função é contínua?
(b) (6 pontos). Verifique se a integral
Passo 1
O enunciado define a função
e pede:
– (a) em quais intervalos é contínua;
– (b) verificar se
– (a) em quais intervalos
– (b) verificar se
é convergente ou divergente.
Conteúdos usados: continuidade de funções racionais (onde o denominador é zero) e análise de convergência de integrais impróprias.
Conteúdos usados: continuidade de funções racionais (onde o denominador é zero) e análise de convergência de integrais impróprias.
Passo 2
Para continuidade de
precisamos que o denominador nunca zere, isto é
Logo
é contínua em
Passo 3
Para avaliar a integral imprópria, encontramos uma primitiva de
. Fazemos a substituição
portanto
Chamemos essa primitiva de
Passo 4
Escrevemos
e examinamos cada parte como limite:
Quando
,
e
. Logo essa parte diverge para
.
Quando
,
e
, daí
. Também diverge.
Como já diverge na vizinhança de
, a integral imprópria sobre
diverge.
Resposta
(a)
é contínua em
e
.
(b) diverge.
(b)