Considere a função f(x)=\frac{3 x^{2}}{\left(8-x^{3}\right)^{2}}.
(a) (1 ponto). Em quais intervalos esta função é contínua?
(b) (6 pontos). Verifique se a integral \int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x é convergente ou divergente.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=\frac{3x^{2}}{\bigl(8 - x^{3}\bigr)^{2}}
e pede:
– (a) em quais intervalos f é contínua;
– (b) verificar se
\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx
é convergente ou divergente.
Conteúdos usados: continuidade de funções racionais (onde o denominador é zero) e análise de convergência de integrais impróprias.

Passo 2

Para continuidade de f precisamos que o denominador nunca zere, isto é
8 - x^{3} \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{3}\neq 8 \quad\Longrightarrow\quad x\neq 2.
Logo f é contínua em
(-\infty,2)\quad\text{e}\quad(2,\infty).

Passo 3

Para avaliar a integral imprópria, encontramos uma primitiva de f. Fazemos a substituição
u = 8 - x^{3} \quad\Longrightarrow\quad du = -3x^{2}\,dx,
portanto
\int f(x)\,dx =\int \frac{3x^{2}}{(8 - x^{3})^{2}}\,dx =-\int u^{-2}\,du =\frac{1}{u}+C =\frac{1}{8 - x^{3}}+C.
Chamemos essa primitiva de
F(x)=\frac{1}{8 - x^{3}}.

Passo 4

Escrevemos
\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx =\int_{-\infty}^{2}f(x)\,dx \;+\; \int_{2}^{\infty}f(x)\,dx
e examinamos cada parte como limite:
1. Para a parte à esquerda do assíntota x=2:
\int_{-\infty}^{2}f(x)\,dx =\lim_{A\to2^-}\;\lim_{B\to-\infty} \bigl[F(A)-F(B)\bigr] =\lim_{A\to2^-}\Bigl(\frac1{8-A^3}-0\Bigr).
Quando A\to2^-, 8-A^3\to0^+ e \tfrac1{8-A^3}\to+\infty. Logo essa parte diverge para +\infty.
2. Para a parte à direita de x=2:
\int_{2}^{\infty}f(x)\,dx =\lim_{C\to+\infty}\;\lim_{D\to2^+} \bigl[F\text{(C)}-F(D)\bigr] =\lim_{C\to+\infty}\Bigl(0-\frac1{8-D^3}\Bigr).
Quando D\to2^+, 8-D^3\to0^- e \frac1{8-D^3}\to-\infty, daí 0-(-\infty)=+\infty. Também diverge.
Como já diverge na vizinhança de x=2, a integral imprópria sobre (-\infty,\infty) diverge.

Resposta

(a) f é contínua em (-\infty,2) e (2,\infty).
(b) \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx diverge.

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