Determine a solução geral dos sistemas de equações diferenciais:
\left\{\begin{array}{l}x_{1}^{\prime}=3 x_{1}+2 x_{2} \\\ x_{2}^{\prime}=4 x_{1}+x_{2}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear homogêneo
\begin{cases} x_{1}'=3x_{1}+2x_{2},\\\ x_{2}'=4x_{1}+x_{2}. \end{cases}
O conteúdo aqui é resolução de sistemas x'=Ax por diagonalização de A. Vamos achar valores próprios, vetores próprios e montar a combinação linear das soluções fundamentais.

Passo 2

Primeiro montamos a matriz
A=\begin{pmatrix}3 & 2\\\ 4 & 1\end{pmatrix}
e calculamos o polinômio característico
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix}3-\lambda & 2\\\ 4 & 1-\lambda\end{pmatrix} =(3-\lambda)(1-\lambda)-8 =\lambda^2-4\lambda-5.
Resolvendo
\lambda^2-4\lambda-5=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=\frac{4\pm\sqrt{16+20}}{2}=\frac{4\pm6}{2},
obtém-se \lambda_{1}=5 e \lambda_{2}=-1.

Passo 3

Agora achamos um vetor próprio para cada autovalor:
Para \lambda_{1}=5,
(A-5I)v=0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}-2 & 2\\\ 4 & -4\end{pmatrix}v=0 \;\Longrightarrow\; v_{1}=(1,1)^{T}.
Para \lambda_{2}=-1,
(A+I)v=0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}4 & 2\\\ 4 & 2\end{pmatrix}v=0 \;\Longrightarrow\; v_{2}=(1,-2)^{T}.

Passo 4

Como os autovalores são distintos, a solução geral é
x(t)=C_{1}e^{5t}v_{1}+C_{2}e^{-t}v_{2},
ou seja
x(t) =C_{1}e^{5t}\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} +C_{2}e^{-t}\begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix}.

Resposta

x_{1}(t)=C_{1}e^{5t}+C_{2}e^{-t},\qquad x_{2}(t)=C_{1}e^{5t}-2C_{2}e^{-t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

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