Resolva os problemas de valor inicial:
\left\{\begin{array}{l}x_{1}^{\prime}=x_{1}+x_{2} \\\ x_{2}^{\prime}=-x_{1}+x_{2}\end{array} \quad\right. com x_{1}(0)=1 ; x_{2}(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear de coeficientes constantes
\begin{cases} x_{1}' = x_{1} + x_{2},\\\ x_{2}' = -x_{1} + x_{2}, \end{cases}
com condições iniciais \,x_{1}(0)=1 e \,x_{2}(0)=0. O conteúdo envolvido é teoria de sistemas lineares homogêneos e autovalores/autovetores.

Passo 2

Escrevemos em forma matricial \,X' = A\,X, com
X = \begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\end{pmatrix},\quad A = \begin{pmatrix}1 & 1\\\ -1 & 1\end{pmatrix}.
O polinômio característico de A é
\det(A-\lambda I) = \det\begin{pmatrix}1-\lambda & 1\\\ -1 & 1-\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)^{2}+1 =\lambda^{2}-2\lambda+2,
cuja solução é \lambda = 1\pm i.

Passo 3

Para \lambda=1+i obtemos o autovetor v resolvendo (A-(1+i)I)v=0. Uma escolha é
v = \begin{pmatrix}1\i\end{pmatrix}.
Assim a solução complexa fundamental é
e^{(1+i)t}v =e^{t}\Bigl[(\cos t+i\sin t)\begin{pmatrix}1\i\end{pmatrix}\Bigr] =e^{t}\Bigl[\begin{pmatrix}\cos t\\\ -\,\sin t\end{pmatrix} +i\begin{pmatrix}\sin t\\cos t\end{pmatrix}\Bigr].
As partes real e imaginária formam duas soluções reais independentes:
\phi_{1}(t)=e^{t}\begin{pmatrix}\cos t\\\ -\,\sin t\end{pmatrix}, \quad \phi_{2}(t)=e^{t}\begin{pmatrix}\sin t\\cos t\end{pmatrix}.
Logo a solução geral é
X(t)=C_{1}\,\phi_{1}(t)+C_{2}\,\phi_{2}(t).

Passo 4

Impondo X(0)=(1,0)^{T} temos
\phi_{1}(0)=\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}, \quad \phi_{2}(0)=\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix},
logo C_{1}=1 e C_{2}=0. Assim
X(t) =\phi_{1}(t) =e^{t}\begin{pmatrix}\cos t\\\ -\,\sin t\end{pmatrix}.

Resposta

x_{1}(t)=e^{t}\cos t, \quad x_{2}(t)=-\,e^{t}\sin t.

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