Numa empresa com 1.000 funcionários, deseja-se estimar a percentagem de funcionários favoráveis a certo programa de treinamento. Qual deve ser o tamanho de uma amostra aleatória simples, que garanta, com alto nível de confiança, um erro amostral não superior a 5%?

Passo 1

O enunciado dá uma população de tamanho N=1000 e pede o tamanho n de uma amostra aleatória simples para estimar a proporção de funcionários favoráveis, com erro amostral máximo E=5\% e “alto nível de confiança”. Vamos usar a fórmula de tamanho de amostra para proporções com correção para população finita.

Passo 2

Em geral, para proporções, a margem de erro é
E \;=\; Z \,\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}\,\frac{N-n}{\,N-1\,}}\!,
onde Z é o escore associado ao nível de confiança e p a proporção verdadeira (desconhecida). Para garantir o pior caso, escolhemos p=0,5 (maximiza p(1-p)). Para “alto nível de confiança” adotamos o usual de 95\%, logo
Z = 1{,}96.

Passo 3

Primeiro, calculamos o tamanho de amostra n_0 supondo população infinita (ou sem correção finita):
n_{0} \;=\; \frac{Z^{2}\,p(1-p)}{E^{2}} \;=\; \frac{(1{,}96)^{2}\times 0{,}5\times 0{,}5}{(0{,}05)^{2}}.

Passo 4

Agora aplicamos a correção para população finita, transformando n_{0} em n:
n \;=\; \frac{N\,n_{0}}{\,n_{0} + N - 1\,}.

Passo 5

Calculando numericamente:
n_{0} = \frac{3{,}8416\times 0{,}25}{0{,}0025} = \frac{0{,}9604}{0{,}0025} \approx 384{,}16,
n = \frac{1000 \times 384{,}16}{384{,}16 + 1000 - 1} = \frac{384\,160}{1\,383{,}16} \approx 277{,}7.
Arredondando para cima, precisamos de 278 funcionários na amostra.

Resposta

n = 278 funcionários.

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