Resolva a equação diferencial dada em série de potências de
(em torno de
). Escreva uma fórmula fechada para o termo geral de cada série que compõe a solução. Dê um intervalo onde a solução é válida.
, Equação de Airy.
Passo 1
O enunciado pede resolver a equação de Airy
por séries de potências em torno de
. O método consiste em assumir uma solução da forma
e encontrar uma relação de recorrência para os coeficientes
. Como são duas constantes arbitrárias (
e
), obteremos duas séries independentes que formam a solução geral.
Passo 2
Substituindo
na equação
e realinhando as potências de
obtemos
Igualando o coeficiente de
a zero, para
, resulta
Refazendo o índice com
, chega-se à forma mais simples da recorrência:
Além disso, da relação para
vem
. Os coeficientes iniciais
e
ficam livres.
Passo 3
Da recorrência
segue que todos os coeficientes separam-se em três “ramificações” mod 3. Em particular:
- Para
,
- Para
,
- Para
, tem-se e assim todos .
Passo 4
Logo, as duas séries linearmente independentes são
A solução geral é
com
e
.
Passo 5
Para séries de potências em torno de zero de uma equação sem singularidades, o raio de convergência é infinito. Portanto, esta solução em série é válida para todo
.
Resposta
válida para todo
.