Resolva a equação diferencial dada em série de potências de x (em torno de x_{0}=0 ). Escreva uma fórmula fechada para o termo geral de cada série que compõe a solução. Dê um intervalo onde a solução é válida.
y^{\prime \prime}-x y=0, Equação de Airy.

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação de Airy
y'' - x\,y = 0
por séries de potências em torno de x_0=0. O método consiste em assumir uma solução da forma
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\,x^n
e encontrar uma relação de recorrência para os coeficientes a_n. Como são duas constantes arbitrárias ( a_0 e a_1), obteremos duas séries independentes que formam a solução geral.

Passo 2

Substituindo
y(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n, \quad y''(x)=\sum_{n=0}^\infty n(n-1)\,a_n\,x^{n-2},
na equação y''-x\,y=0 e realinhando as potências de x^n obtemos
\sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)\,a_{n+2}\,x^n\;-\;\sum_{n=0}^\infty a_{n-1}\,x^n \;=\;0.
Igualando o coeficiente de x^n a zero, para n\ge1, resulta
(n+2)(n+1)\,a_{n+2} \;-\; a_{n-1} \;=\; 0 \quad\Longrightarrow\quad a_{n+2} = \frac{a_{n-1}}{(n+2)(n+1)}.
Refazendo o índice com m=n-1, chega-se à forma mais simples da recorrência:
\boxed{a_{m+3} \;=\;\frac{a_m}{(m+3)(m+2)},\quad m\ge0.}
Além disso, da relação para m=0 vem a_2=0. Os coeficientes iniciais a_0 e a_1 ficam livres.

Passo 3

Da recorrência a_{n+3}=a_n/((n+3)(n+2)) segue que todos os coeficientes separam-se em três “ramificações” mod 3. Em particular:
  1. Para n=3k,
a_{3k} =\frac{a_{3(k-1)}}{(3k)(3k-1)} =\frac{a_0}{\displaystyle\prod_{j=1}^{k}(3j)(3j-1)}.
  1. Para n=3k+1,
a_{3k+1} =\frac{a_{3(k-1)+1}}{(3k+1)(3k)} =\frac{a_1}{\displaystyle\prod_{j=1}^{k}(3j+1)(3j)}.
  1. Para n=3k+2, tem-se a_2=0 e assim todos a_{3k+2}=0.

Passo 4

Logo, as duas séries linearmente independentes são
y_1(x) =\sum_{k=0}^{\infty}a_{3k}\,x^{3k} =a_0\, \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{3k}}{\displaystyle\prod_{j=1}^{k}(3j)(3j-1)},
y_2(x) =\sum_{k=0}^{\infty}a_{3k+1}\,x^{3k+1} =a_1\, \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{3k+1}}{\displaystyle\prod_{j=1}^{k}(3j+1)(3j)}.
A solução geral é
\boxed{ y(x) = C_1\,y_1(x) \;+\; C_2\,y_2(x), }
com C_1=a_0 e C_2=a_1.

Passo 5

Para séries de potências em torno de zero de uma equação sem singularidades, o raio de convergência é infinito. Portanto, esta solução em série é válida para todo x\in\mathbb{R}.

Resposta

y(x) = C_1 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{3k}}{\displaystyle\prod_{j=1}^{k}(3j)(3j-1)} \;+\; C_2 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{3k+1}}{\displaystyle\prod_{j=1}^{k}(3j+1)(3j)},
válida para todo x\in\mathbb{R}.

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