Considere a função
f(x)=\frac{4 x+10}{(x-1)^{4}}
a) determine A, B, C, D
\frac{4 x+10}{(x-1)^{4}}=\frac{A}{(x-1)}+\frac{B}{(x-1)^{2}}+\frac{C}{(x-1)^{3}}+\frac{D}{(x-1)^{4}}

Passo 1

O enunciado pede a decomposição em frações parciais de
f(x)=\frac{4x+10}{(x-1)^{4}}
no formato
\frac{4x+10}{(x-1)^{4}} =\frac{A}{(x-1)}+\frac{B}{(x-1)^{2}}+\frac{C}{(x-1)^{3}}+\frac{D}{(x-1)^{4}}.
O conteúdo é frações parciais com fator linear repetido, e a ideia é escrever uma identidade polinomial e igualar coeficientes.

Passo 2

Para simplificar, fazemos a troca de variável
t = x-1,
então x = t+1 e o numerador vira
4x + 10 = 4(t+1) + 10 = 4t + 14.
Assim
f(x)=\frac{4t+14}{t^{4}}
e a decomposição buscada é
\frac{4t+14}{t^{4}} =\frac{A}{t}+\frac{B}{t^{2}}+\frac{C}{t^{3}}+\frac{D}{t^{4}}.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por t^{4} para obter uma identidade polinomial em t:
4t+14 = A\,t^{3} + B\,t^{2} + C\,t + D.

Passo 4

Agora igualamos coeficientes dos mesmos graus de t em cada membro:
– Coeficiente de t^{3}: 0 = A
– Coeficiente de t^{2}: 0 = B
– Coeficiente de t^{1}: 4 = C
– Coeficiente independente: 14 = D

Resposta

A =0
B =0
C =4
D =14

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