Discuta a continuidade das seguintes funçōes:
(e) f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{3} y^{3}}{x^{2}+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0) .\end{cases}

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{3}y^{3}}{x^{2}+y^{2}},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\\\ 0,&\text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede para discutir sua continuidade no domínio \R^2. Para isso, precisamos verificar dois casos: pontos (x,y)\neq(0,0) e o ponto (0,0).

Passo 2

Se (x,y)\neq(0,0), então x^2+y^2>0 e f(x,y) é quociente de funções polinomiais com denominador não nulo. Como polinômios são contínuos e a divisão por uma função contínua não nula preserva a continuidade, concluímos que f é contínua em todo ponto (x,y)\neq(0,0).

Passo 3

No ponto (0,0), precisamos calcular
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) =\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^3y^3}{x^2+y^2}.
Usamos a desigualdade \lvert xy\rvert\le\frac{x^2+y^2}{2}, então
\bigl\lvert f(x,y)\bigr\rvert =\frac{\lvert x y\rvert^3}{x^2+y^2} \le\frac{\bigl(\frac{x^2+y^2}{2}\bigr)^3}{x^2+y^2} =\frac{(x^2+y^2)^2}{8}.
Como \lim_{(x,y)\to(0,0)}(x^2+y^2)^2/8=0, segue que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0=f(0,0).
Logo, f é contínua também em (0,0).

Resposta

A função f é contínua em todo \R^2.

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