Questão 3.

Determine a solução e propagação do calor abaixo.
\begin{aligned} & \\\ & \left\{\begin{array}{l} \partial_{t} u=3 \partial_{x}^{2} u, \quad 0<x<\pi, t>0 \\\ \partial_{x} u(0, t)=1, \quad u(\pi, t)=0, \quad t \geq 0 \\\ u(x, 0)=x-\pi+3 \cos \left(\frac{1}{2} x\right)-\cos \left(\frac{5}{2} x\right), \quad 0 \leq x \leq \pi \end{array}\right. \end{aligned}
(a) (2P.) Obtenha a solução estacionária do problema.
(b) (5 P.) Determine sua solução transiente. Nesta etapa você pode utilizar, sem precisar justificar o resultado seguinte: O problema X^{\prime \prime}-\lambda X=0, X^{\prime}(0)=0, X(\pi)=0 tem solução não nula apenas se \lambda=-\left(\frac{2 n-1}{2}\right)^{2}, \quad n \in \mathbb{N} e nesse caso X(x)=c \cos \left(\frac{2 n-1}{2} x\right).
(c) (2 P.) Obtenha a solução do problema.

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação do calor
\partial_{t}u = 3\,\partial_{x}^{2}u,\quad 0<x<\pi,\\ t>0
com condições de contorno mistas
\partial_{x}u(0,t)=1,\quad u(\pi,t)=0
e condição inicial
u(x,0)=x-\pi+3\cos\bigl(\tfrac12x\bigr)-\cos\bigl(\tfrac52x\bigr).
O conteúdo principal será: (i) encontrar a solução estacionária u_s(x) que anula a derivada no tempo, (ii) escrever u=u_s+v para homogeneizar as C.C., (iii) resolver o problema de v por separação de variáveis usando as autofunções \cos\bigl(\tfrac{2n-1}2x\bigr).

Passo 2

Para a parte estacionária u_s(x) temos
0 = 3\,u_s''(x)\quad\Longrightarrow\quad u_s''(x)=0,
cuja solução geral é u_s(x)=Ax+B. Aplicando
u_s'(0)=A=1,\qquad u_s(\pi)=A\pi+B=0
vem A=1 e B=-\pi. Logo
u_s(x)=x-\pi.

Passo 3

Definimos a parte transiente v(x,t) por
u(x,t)=u_s(x)+v(x,t).
Então \partial_t v=3\,\partial_x^2 v e as C.C. tornam-se
\partial_x v(0,t)=\partial_x u(0,t)-u_s'(0)=1-1=0,\quad v(\pi,t)=u(\pi,t)-u_s(\pi)=0-0=0.
A condição inicial passa a ser
v(x,0)=u(x,0)-u_s(x) = \bigl[x-\pi+3\cos(\tfrac12x)-\cos(\tfrac52x)\bigr]-(x-\pi) =3\cos(\tfrac12x)-\cos(\tfrac52x).

Passo 4

Pelo enunciado, os autofeixes para
X''-\lambda X=0,\quad X'(0)=0,\\ X(\pi)=0
são não triviais apenas para
\lambda_n=-\Bigl(\tfrac{2n-1}2\Bigr)^2,\quad X_n(x)=\cos\Bigl(\tfrac{2n-1}2x\Bigr).
Assim a série de Fourier para v é
v(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}B_n \exp\bigl(-3\,\lambda_n\,t\bigr)\, \cos\Bigl(\tfrac{2n-1}2x\Bigr).

Passo 5

Na inicial v(x,0)=3\cos(\tfrac12x)-\cos(\tfrac52x) vemos que só aparecem os modos n=1 (que é \cos(\tfrac12x)) e n=3 (que é \cos(\tfrac52x)). Logo
B_1=3,\qquad B_3=-1,
e todos os outros B_n=0.

Passo 6

Substituindo \lambda_1=-(\tfrac12)^2=-\tfrac14 e \lambda_3=-(\tfrac52)^2=-\tfrac{25}4, obtemos
v(x,t) =3\,e^{-3\,(1/4)\,t}\,\cos\bigl(\tfrac12x\bigr) \;-\;e^{-3\,(25/4)\,t}\,\cos\bigl(\tfrac52x\bigr).

Passo 7

Finalmente, a solução completa é
u(x,t)=u_s(x)+v(x,t) = \bigl(x-\pi\bigr) +3\,e^{-\tfrac{3}{4}t}\cos\bigl(\tfrac12x\bigr) - e^{-\tfrac{75}{4}t}\cos\bigl(\tfrac52x\bigr).

Resposta

u(x,t) = x-\pi +3\,e^{-\tfrac{3}{4}t}\cos\bigl(\tfrac12x\bigr) - e^{-\tfrac{75}{4}t}\cos\bigl(\tfrac52x\bigr).

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