Considere a função
.
a)
Isole um zero
de
e mostre que é o único nesse intervalo.
b)
Aproxime esse
com precisão de duas casas decimais usando 0 método da bisseção.
c)
Use um método iterativo à sua escolha (mas não o bisseção) para aproximar
com precisão de 3 casas decimais.
a)
b)
c)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
– (a) isolar um zero de
e mostrar que é o único num certo intervalo;
– (b) aproximar com duas casas decimais pelo método da bisseção;
– (c) aproximar com três casas decimais por um método iterativo (não bisseção).
– (a) isolar um zero
– (b) aproximar
– (c) aproximar
Vamos usar o Teorema de Bolzano (continuidade e troca de sinal) e a monotonicidade para (a), o método da bisseção para (b) e o método de Newton–Raphson para (c).
Passo 2
A função
é polinomial, logo contínua e diferenciável em
. Calculamos
Como
, pelo Teorema de Bolzano existe
tal que
.
Além disso,
Além disso,
e para
temos
, ou seja,
é estritamente crescente em
.
Logo só há um único zero nesse intervalo.
Logo só há um único zero nesse intervalo.
Passo 3
Aplicamos o método da bisseção em
até que o comprimento do intervalo seja menor que
:
-
, , ,
-
,
-
,
-
,
-
,
-
,
-
,
Parou-se quando o intervalo tem comprimento menor que
. Tomando
temos duas casas decimais.
Passo 4
Para três casas decimais usamos o método de Newton–Raphson:
com
. Tomando
,
Como
, já atingimos o critério para três casas decimais:
Resposta
a) Existe exatamente um zero
de
em
.
b) Pelo método da bisseção, .
c) Pelo método de Newton, .
b) Pelo método da bisseção,
c) Pelo método de Newton,