Considere a função f(x)=x^{3}-5 x-1.
a) (1,0) Isole um zero \xi de f e mostre que é o único nesse intervalo.
b) (1,5) Aproxime esse \xi com precisão de duas casas decimais usando 0 método da bisseção.
c) (1,5) Use um método iterativo à sua escolha (mas não o bisseção) para aproximar \xi com precisão de 3 casas decimais.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{3}-5x-1
e pede:
– (a) isolar um zero \xi de f e mostrar que é o único num certo intervalo;
– (b) aproximar \xi com duas casas decimais pelo método da bisseção;
– (c) aproximar \xi com três casas decimais por um método iterativo (não bisseção).
Vamos usar o Teorema de Bolzano (continuidade e troca de sinal) e a monotonicidade para (a), o método da bisseção para (b) e o método de Newton–Raphson para (c).

Passo 2

A função f é polinomial, logo contínua e diferenciável em \mathbb{R}. Calculamos
f(2)=2^{3}-5\cdot2-1=8-10-1=-3<0, \qquad f(3)=3^{3}-5\cdot3-1=27-15-1=11>0.
Como f(2)\cdot f(3)<0, pelo Teorema de Bolzano existe \xi\in(2,3) tal que f(\xi)=0.
Além disso,
f'(x)=3x^{2}-5,
e para x\ge2 temos 3x^{2}-5\ge3\cdot2^{2}-5=7>0, ou seja, f é estritamente crescente em [2,3].
Logo só há um único zero nesse intervalo.

Passo 3

Aplicamos o método da bisseção em [2,3] até que o comprimento do intervalo seja menor que 0,01:
  1. a_0=2, b_0=3, m_1=2{,}5,
f(2{,}5)=2{,}5^{3}-5\cdot2{,}5-1=2{,}125>0 \;\Longrightarrow\; [a_1,b_1]=[2,2{,}5].
  1. m_2=2{,}25,
f(2{,}25)=2{,}25^{3}-5\cdot2{,}25-1\approx-0{,}859<0 \;\Longrightarrow\; [a_2,b_2]=[2{,}25,2{,}5].
  1. m_3=2{,}375,
f(2{,}375)\approx0{,}521>0 \;\Longrightarrow\; [a_3,b_3]=[2{,}25,2{,}375].
  1. m_4=2{,}3125,
f(2{,}3125)\approx-0{,}201<0 \;\Longrightarrow\; [a_4,b_4]=[2{,}3125,2{,}375].
  1. m_5=2{,}34375,
f(2{,}34375)\approx0{,}149>0 \;\Longrightarrow\; [a_5,b_5]=[2{,}3125,2{,}34375],\quad b_5-a_5=0{,}03125>0{,}01.
  1. m_6=2{,}328125,
f(2{,}328125)\approx-0{,}0274<0 \;\Longrightarrow\; [a_6,b_6]=[2{,}328125,2{,}34375],\quad b_6-a_6=0{,}015625>0{,}01.
  1. m_7=2{,}3359375,
f(2{,}3359375)\approx0{,}059>0 \;\Longrightarrow\; [a_7,b_7]=[2{,}328125,2{,}3359375],\quad b_7-a_7=0{,}0078125<0{,}01.
Parou-se quando o intervalo tem comprimento menor que 0{,}01. Tomando
\xi\approx\frac{2{,}328125+2{,}3359375}{2}=2{,}33203125\approx2{,}33
temos duas casas decimais.

Passo 4

Para três casas decimais usamos o método de Newton–Raphson:
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)},
com f'(x)=3x^2-5. Tomando x_0=2{,}33,
f(2{,}33)\approx0{,}008637, \quad f'(2{,}33)\approx11{,}2867,
x_1=2{,}33-\frac{0{,}008637}{11{,}2867}\approx2{,}32923.
Como |x_1-x_0|\approx0{,}00077<0{,}0005, já atingimos o critério para três casas decimais:
\xi\approx2{,}329.

Resposta

a) Existe exatamente um zero \xi de f em (2,3).
b) Pelo método da bisseção, \xi\approx2,33.
c) Pelo método de Newton, \xi\approx2,329.

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