(2,0) Determine o número mínimo de iterações no método da bisseção para aproximar a raiz \xi de f(x)=e^{x}-2 x no intervalo [-2,3] com precisão de 10^{-6}.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=e^x - 2x, o intervalo inicial [-2,3] e pede o número mínimo de iterações do método da bisseção para obter uma aproximação da raiz \xi com erro inferior a 10^{-6}. O conteúdo envolve o método da bisseção e sua cota de erro.

Passo 2

No método da bisseção, após n iterações o erro satisfaça
|x_n - \xi| \le \frac{b-a}{2^n}.
Aqui a=-2, b=3 e a tolerância é \varepsilon=10^{-6}.

Passo 3

Aplicando a cota de erro:
\frac{b-a}{2^n} \le \varepsilon \quad\Longrightarrow\quad \frac{5}{2^n} \le 10^{-6} \quad\Longrightarrow\quad 2^n \ge 5\times10^6.

Passo 4

Tomando logaritmo na base 2,
n \ge \log_2\bigl(5\times10^6\bigr) = \log_2(5) + \log_2\bigl(10^6\bigr) = \log_2(5) + 6\,\log_2(10).

Passo 5

Usando as aproximações \log_2(5)\approx2,322 e \log_2(10)\approx3,322, fica
n \ge 2,322 + 6 \times 3,322 = 2,322 + 19,932 = 22,254,
logo o número mínimo inteiro de iterações é
n_{\min} = \lceil 22,254\rceil = 23.

Resposta

23

Exercícios relacionados