(2,0) Resolva o seguinte sistema usando eliminação gaussiana com pivoteamento parcial destacando o pivô em cada etapa.
\left\{\begin{array}{c} 4 x+y-2 z=4 \\ -5 x+7 y-z=9 \\ 3 x-4 y+z=10 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
\begin{cases} 4x + y - 2z = 4,\\\\ -5x + 7y - z = 9,\\\\ 3x - 4y + z = 10, \end{cases}
e pede para resolver usando eliminação de Gauss com pivoteamento parcial, ou seja, em cada estágio escolhemos como pivô o elemento de maior valor absoluto na coluna que estamos eliminando e, se necessário, trocamos linhas para colocá-lo na posição de pivô.

Passo 2

Primeiro pivô: olhamos a coluna de x nas linhas 1 a 3, com coeficientes \{4,\,-5,\,3\}. O maior em valor absoluto é -5, na linha 2. Então trocamos linha 1 com linha 2, obtendo o sistema equivalente
\begin{cases} -5x + 7y - z = 9,\\\\ 4x + y - 2z = 4,\\\\ 3x - 4y + z = 10. \end{cases}

Passo 3

Usamos -5 como pivô para zerar as entradas abaixo na coluna x.
O multiplicador para zerar em linha 2 é
m_{21} = \frac{4}{-5} = -\tfrac{4}{5},
e para linha 3 é
m_{31} = \frac{3}{-5} = -\tfrac{3}{5}.
Atualizando as linhas 2 e 3:
\begin{aligned} \text{Linha 2}&:\;L_2 \leftarrow L_2 - m_{21}L_1 = [0,\;\tfrac{33}{5},\;-\tfrac{14}{5}\mid \tfrac{56}{5}],\\\ \text{Linha 3}&:\;L_3 \leftarrow L_3 - m_{31}L_1 = [0,\;\tfrac{1}{5},\;\tfrac{2}{5}\mid \tfrac{77}{5}]. \end{aligned}
Agora a matriz aumentada está
\begin{pmatrix} -5 & 7 & -1 &\mid& 9\\\\ 0 & \tfrac{33}{5} & -\tfrac{14}{5} &\mid& \tfrac{56}{5}\\\\ 0 & \tfrac{1}{5} & \tfrac{2}{5} &\mid& \tfrac{77}{5} \end{pmatrix}.

Passo 4

Segundo pivô: consideramos a submatriz das linhas 2 e 3 na coluna y, com valores \{\tfrac{33}{5},\,\tfrac{1}{5}\}. O maior em valor absoluto é \tfrac{33}{5} (já está em linha 2), logo não precisamos trocar linhas. Nosso pivô agora é
\tfrac{33}{5}.

Passo 5

Zeramos a entrada abaixo do pivô na coluna y. O multiplicador é
m_{32} = \frac{\tfrac{1}{5}}{\tfrac{33}{5}} = \tfrac{1}{33}.
Atualizando a linha 3:
L_3 \leftarrow L_3 - m_{32}L_2 = \bigl[0,\;0,\;\tfrac{16}{33}\bigm|\;\tfrac{497}{33}\bigr].
Agora a matriz está triangular:
\begin{pmatrix} -5 & 7 & -1 &\mid& 9\\\\ 0 & \tfrac{33}{5} & -\tfrac{14}{5} &\mid& \tfrac{56}{5}\\\\ 0 & 0 & \tfrac{16}{33} &\mid& \tfrac{497}{33} \end{pmatrix}.

Passo 6

Fazemos a substituição regressiva:
\begin{aligned} \tfrac{16}{33}\,z &= \tfrac{497}{33} \quad\Longrightarrow\quad z = \frac{497}{16},\\\ \tfrac{33}{5}\,y - \tfrac{14}{5}\,z &= \tfrac{56}{5} \quad\Longrightarrow\quad 33y = 56 + 14\,\frac{497}{16} \;\Longrightarrow\; y = \frac{119}{8},\\\\ -5x + 7y - z &= 9 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{-9 + 7\,\frac{119}{8} - \frac{497}{16}}{5} = \frac{205}{16}. \end{aligned}

Resposta

(x,y,z) = \Bigl(\tfrac{205}{16},\;\tfrac{119}{8},\;\tfrac{497}{16}\Bigr).

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