a) (1,0) Determine todos os valores para k de modo que possamos garantir que a sequência gerada pelo método de Gauss-Seidel convirja para a solução do sistema a seguir. Justifique sua escolha.
\left\{\begin{array}{c} 4 x+y-2 z=4 \\\\ -5 x+7 y+2 z=9 \\\\ 3 x-4 y+k z=10 \end{array}\right.
b) (1,0) Com esses valores de k, podemos garantir a convergência da sequência gerada pelo Método de Gauss-Jacobi? Justifique.

Passo 1

Estamos com o sistema
\begin{cases} 4x + y - 2z = 4,\\\\ -5x + 7y + 2z = 9,\\\\ 3x - 4y + k\,z = 10, \end{cases}
e queremos achar para quais valores de k a iteração de Gauss–Seidel converge. Para isso, vamos usar a condição suficiente de convergência baseada em dominância diagonal por linhas.

Passo 2

Escrevendo a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & -2\\\\ -5 & 7 & 2\\\\ 3 & -4 & k \end{pmatrix},
a definição de dominância diagonal por linhas diz: para cada linha i devemos ter
|a_{ii}| \ge \sum_{j\neq i} |a_{ij}|,
com estrita “ >” em pelo menos uma linha. Se ainda por cima a matriz for irreducível (grafo de adjacência fortemente conectado), a iteração de Gauss–Seidel converge.

Passo 3

Aplicando linha a linha:
Linha 1:
|4| > |1| + |-2| \quad\Longrightarrow\quad 4 > 1 + 2 = 3,
está estritamente dominada.
Linha 2:
|7| \ge |-5| + |2| \quad\Longrightarrow\quad 7 \ge 5 + 2 = 7,
é dominância fraca (igualdade).
Linha 3:
|k| > |3| + |-4| \quad\Longrightarrow\quad |k| > 7.

Passo 4

Vimos que, se |k|>7, então:
  • Linha 1 é estritamente dominada;
  • Linha 2 é apenas fracamente dominada;
  • Linha 3 é estritamente dominada;
  • E a matriz é irreducível (há acoplamento entre todas as variáveis).
Pelo teorema de convergência de Gauss–Seidel em matriz irreduzivelmente diagonalmente dominante (com pelo menos uma linha estrita), a iteração converge.

Passo 5

Logo, a condição em k para garantir convergência de Gauss–Seidel é
|k| > 7.

Passo 6

Para o método de Gauss–Jacobi a condição usual exige dominância estrita em todas as linhas, pois cada linha define um raio de Gershgorin estrito dentro do disco unitário. Aqui a linha 2 nunca satisfaz |7| > 7, independentemente de k. Portanto não podemos garantir convergência de Jacobi.

Resposta

(a) A sequência de Gauss–Seidel converge se e somente se |k|>7.
(b) Não, para esses k a linha 2 nunca é estritamente dominada, logo não há garantia de convergência do método de Gauss–Jacobi.

Exercícios relacionados