a) (1,0) Determine todos os valores para k de modo que possamos garantir que a sequência gerada pelo método de Gauss-Seidel convirja para a solução do sistema a seguir. Justifique sua escolha.
e queremos achar para quais valores de k a iteração de Gauss–Seidel converge. Para isso, vamos usar a condição suficiente de convergência baseada em dominância diagonal por linhas.
Passo 2
Escrevendo a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & -2\\\\ -5 & 7 & 2\\\\ 3 & -4 & k \end{pmatrix},
a definição de dominância diagonal por linhas diz: para cada linha i devemos ter
|a_{ii}| \ge \sum_{j\neq i} |a_{ij}|,
com estrita “>” em pelo menos uma linha. Se ainda por cima a matriz for irreducível (grafo de adjacência fortemente conectado), a iteração de Gauss–Seidel converge.
E a matriz é irreducível (há acoplamento entre todas as variáveis).
Pelo teorema de convergência de Gauss–Seidel em matriz irreduzivelmente diagonalmente dominante (com pelo menos uma linha estrita), a iteração converge.
Passo 5
Logo, a condição em k para garantir convergência de Gauss–Seidel é
|k| > 7.
Passo 6
Para o método de Gauss–Jacobi a condição usual exige dominância estrita em todas as linhas, pois cada linha define um raio de Gershgorin estrito dentro do disco unitário. Aqui a linha 2 nunca satisfaz |7| > 7, independentemente de k. Portanto não podemos garantir convergência de Jacobi.
Resposta
(a) A sequência de Gauss–Seidel converge se e somente se |k|>7.
(b) Não, para esses k a linha 2 nunca é estritamente dominada, logo não há garantia de convergência do método de Gauss–Jacobi.