Determine os valores de r para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma y=t^{\prime}.
t^{3} y^{\prime}+4 t^{2} y=e^{-t}, \quad y(-1)=0, \quad t<0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
t^{3}y'+4\,t^{2}y=e^{-t},\quad t<0
e pede os valores de r para os quais existe uma solução do tipo y=t^{r}. Vamos olhar primeiro a parte homogênea da equação, pois é nela que cabem soluções monômias.

Passo 2

A parte homogênea é
t^{3}y'+4\,t^{2}y=0.
Supondo uma solução da forma y=t^{r}, temos
y'=r\,t^{r-1}.

Passo 3

Substituindo y=t^{r} e y'=r\,t^{r-1} na parte homogênea obtemos
t^{3}\bigl(r\,t^{r-1}\bigr)+4\,t^{2}\bigl(t^{r}\bigr) =(r+4)\,t^{r+2}=0.

Passo 4

Para haver solução não trivial precisamos de
r+4=0
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r=-4.

Resposta

r=-4

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