Considere a função
. Julgue as afirmativas abaixo:
(3)
é convexa apenas na região
e côncava apenas na região
.
(3)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para julgar a afirmativa (3): "
é convexa apenas na região
e côncava apenas na região
."
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é
. - A afirmativa a ser julgada diz exatamente quais são as regiões de convexidade e concavidade (intervalos
e respectivamente). - Temos de verificar se essas afirmações sobre convexidade/concavidade são verdadeiras.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas de
passo a passo (isso é o que sempre se faz para estudar convexidade/concavidade). Lembra da regra potência: a derivada de
é
.
Derivando termo a termo:
Agora derivamos novamente para obter a segunda derivada:
Passo 3
Explico a teoria necessária (do jeitinho mastigado): para uma função duas vezes diferenciável, a segunda derivada indica curvatura:
- Se
num intervalo, a função é estritamente convexa nesse intervalo (curva “abraça para cima”). - Se
num intervalo, a função é estritamente côncava nesse intervalo (curva “abraça para baixo”). - Se
em pontos isolados, esses pontos são candidatos a ponto de inflexão (onde muda a concavidade).
No exame: calcule, ache onde é zero e estude o sinal em cada região.
Passo 4
Achar onde
:
Então o único ponto onde a segunda derivada se anula é
.
Passo 5
Estudar o sinal de
:
- Para
temos , porque multiplicando um número menor que por dá menos que . - Para
temos .
Portanto:
-
em ⇒ é côncava em . -
em ⇒ é convexa em .
No pontoa segunda derivada é zero, que é o ponto de inflexão onde a concavidade muda de negativa para positiva.
Passo 6
Compare isso com a afirmativa (3) do enunciado, que dizia: "convexa apenas em
e côncava apenas em
". Já vemos que os intervalos corretos envolvem
, não
nem
. Para deixar cristalino, mostro contraexemplos numéricos fáceis:
- Pegue
, que pertence ao intervalo indicado na afirmativa. Calculando
logo em
a função é côncava, não convexa. Isso já contradiz a afirmativa.
- Pegue
, que pertence ao intervalo indicado na afirmativa. Calculando
logo em
a função é convexa, não côncava. Outra contradição.
Assim a afirmativa (3) está incorreta.
Passo 7
Resumo prático para a prova (como fazer rápido e seguro):
- Calcule
. - Resolva
para achar possíveis pontos de inflexão. - Analise o sinal de
nos intervalos determinados por esses pontos.
No caso dado,e o ponto crítico é , o que dá concavidade em e convexidade em .
Resposta
A afirmativa (3) é falsa.