Considere a função f(x)=x^{3}-2 x^{2}+x-1. Julgue as afirmativas abaixo:
(3) f(x) é convexa apenas na região (-\infty, 1 / 3) e côncava apenas na região (1, \infty).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{3}-2x^{2}+x-1 e pede para julgar a afirmativa (3): " f(x) é convexa apenas na região (-\infty,\,1/3) e côncava apenas na região (1,\,\infty)."
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é f(x)=x^{3}-2x^{2}+x-1.
  • A afirmativa a ser julgada diz exatamente quais são as regiões de convexidade e concavidade (intervalos (-\infty,\,1/3) e (1,\,\infty) respectivamente).
  • Temos de verificar se essas afirmações sobre convexidade/concavidade são verdadeiras.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas de f passo a passo (isso é o que sempre se faz para estudar convexidade/concavidade). Lembra da regra potência: a derivada de x^{n} é n x^{n-1}.
Derivando termo a termo:
f(x)=x^{3}-2x^{2}+x-1
f'(x)=3x^{2}-4x+1
Agora derivamos novamente para obter a segunda derivada:
f''(x)=6x-4

Passo 3

Explico a teoria necessária (do jeitinho mastigado): para uma função duas vezes diferenciável, a segunda derivada indica curvatura:
  • Se f''(x)>0 num intervalo, a função é estritamente convexa nesse intervalo (curva “abraça para cima”).
  • Se f''(x)<0 num intervalo, a função é estritamente côncava nesse intervalo (curva “abraça para baixo”).
  • Se f''(x)=0 em pontos isolados, esses pontos são candidatos a ponto de inflexão (onde muda a concavidade).
    No exame: calcule f''(x), ache onde é zero e estude o sinal em cada região.

Passo 4

Achar onde f''(x)=0:
f''(x)=6x-4=0 \implies 6x=4 \implies x=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.
Então o único ponto onde a segunda derivada se anula é x=\tfrac{2}{3}.

Passo 5

Estudar o sinal de f''(x)=6x-4:
  • Para x<\tfrac{2}{3} temos 6x-4<0, porque multiplicando um número menor que \tfrac{2}{3} por 6 dá menos que 4.
  • Para x>\tfrac{2}{3} temos 6x-4>0.
Portanto:
  • f''(x)<0 em (-\infty,\,\tfrac{2}{3}) f é côncava em (-\infty,\,\tfrac{2}{3}).
  • f''(x)>0 em (\tfrac{2}{3},\,\infty) f é convexa em (\tfrac{2}{3},\,\infty).
    No ponto x=\tfrac{2}{3} a segunda derivada é zero, que é o ponto de inflexão onde a concavidade muda de negativa para positiva.

Passo 6

Compare isso com a afirmativa (3) do enunciado, que dizia: "convexa apenas em (-\infty,\,1/3) e côncava apenas em (1,\,\infty)". Já vemos que os intervalos corretos envolvem \tfrac{2}{3}, não \tfrac{1}{3} nem 1. Para deixar cristalino, mostro contraexemplos numéricos fáceis:
  • Pegue x=0, que pertence ao intervalo (-\infty,\,1/3) indicado na afirmativa. Calculando
f''(0)=6\cdot 0-4=-4<0,
logo em x=0 a função é côncava, não convexa. Isso já contradiz a afirmativa.
  • Pegue x=2, que pertence ao intervalo (1,\,\infty) indicado na afirmativa. Calculando
f''(2)=6\cdot 2-4=12-4=8>0,
logo em x=2 a função é convexa, não côncava. Outra contradição.
Assim a afirmativa (3) está incorreta.

Passo 7

Resumo prático para a prova (como fazer rápido e seguro):
  1. Calcule f''(x).
  2. Resolva f''(x)=0 para achar possíveis pontos de inflexão.
  3. Analise o sinal de f''(x) nos intervalos determinados por esses pontos.
    No caso dado, f''(x)=6x-4 e o ponto crítico é x=\tfrac{2}{3}, o que dá concavidade em (-\infty,\tfrac{2}{3}) e convexidade em (\tfrac{2}{3},\infty).

Resposta

A afirmativa (3) é falsa.

Exercícios relacionados