Considere a função
em que f(x)=ll x^2-c, & se x <= c x, & se x>c . O conjunto de todos os valores de c in R, para os quais c é contínua, é:

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função $ f(x) $ definida por partes:
f(x)
Queremos descobrir todos os valores de $ c $ reais que fazem essa função ser contínua. Para isso, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se o limite pela esquerda, o limite pela direita e o valor da função nesse ponto forem iguais.

Passo 2

Primeiro, identifique onde a função muda de definição. No nosso caso, isso acontece em $ x = c $. Então, precisamos garantir que a função seja contínua nesse ponto.

Passo 3

Vamos calcular o valor da função em $ x = c $:
x = c
Isso porque quando $ x \leq c $, usamos a primeira parte da função.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite da função quando $ x $ se aproxima de $ c $ pela esquerda ($ x \to c^{-} $):
x

Passo 5

Em seguida, calculamos o limite da função quando $ x $ se aproxima de $ c $ pela direita ($ x \to c^{+} $):
x

Passo 6

Para a função ser contínua em $ x = c $, os dois limites devem ser iguais ao valor da função no ponto. Então, temos:
x = c

Passo 7

Vamos resolver a equação:
c^2 - c = c c^2 - 2c = 0 c(c - 2) = 0

Passo 8

As soluções dessa equação são:
c = 0 ou c = 2

Resposta

Os valores de $ c $ para os quais a função $ f $ é contínua são $ c = 0 $ e $ c = 2 $.

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