Considere a função
em que
. O conjunto de todos os valores de
, para os quais
é contínua, é:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função $ f(x) $ definida por partes:
Queremos descobrir todos os valores de $ c $ reais que fazem essa função ser contínua. Para isso, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se o limite pela esquerda, o limite pela direita e o valor da função nesse ponto forem iguais.
Passo 2
Primeiro, identifique onde a função muda de definição. No nosso caso, isso acontece em $ x = c $. Então, precisamos garantir que a função seja contínua nesse ponto.
Passo 3
Vamos calcular o valor da função em $ x = c $:
Isso porque quando $ x \leq c $, usamos a primeira parte da função.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite da função quando $ x $ se aproxima de $ c $ pela esquerda ($ x \to c^{-} $):
Passo 5
Em seguida, calculamos o limite da função quando $ x $ se aproxima de $ c $ pela direita ($ x \to c^{+} $):
Passo 6
Para a função ser contínua em $ x = c $, os dois limites devem ser iguais ao valor da função no ponto. Então, temos:
Passo 7
Vamos resolver a equação:
Passo 8
As soluções dessa equação são:
Resposta
Os valores de $ c $ para os quais a função $ f $ é contínua são $ c = 0 $ e $ c = 2 $.