Sejam
e
números inteiros positivos e suponha que
.
(a) Mostre que se
, então
.
(b) Somente a condição
implicaria que
? Justifique sua resposta.
(a) Mostre que se
(b) Somente a condição
Passo 1
O enunciado diz que
são inteiros positivos com
e pede:
– (a) Provar que, se
, então
.
– (b) Questionar se apenas a condição (sem exigir
) já garantiria
.
– (b) Questionar se apenas a condição
O conteúdo principal é usar a identidade de Bézout (vinda da condição
) para concluir a divisibilidade.
Passo 2
Como
, existe combinação linear inteira—chamada identidade de Bézout—tal que
para alguns inteiros
.
Passo 3
Multiplicando essa identidade por
, obtemos
Agora,
divide o primeiro termo
obviamente, e por hipótese
implica
. Logo
divide a soma dos dois termos, que é exatamente
. Concluímos
Passo 4
Para (b), perguntamos: se só soubermos que
, sem exigir
, já teríamos
? A resposta é não. Por exemplo, tome
Então
é múltiplo de
, ou seja
. Porém
. Observe também que
. Portanto, sem a condição
não se garante
.
Resposta
(a) Usando a identidade de Bézout conclui-se que
.
(b) Não: por exemplo, mas
, já que
.
(b) Não: por exemplo,