Sejam a, b e c números inteiros positivos e suponha que m d c(a, b)=1.
(a) Mostre que se a mid b c, então a mid c.
(b) Somente a condição a mid b c implicaria que a mid c ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado diz que a,b,c são inteiros positivos com gcd(a,b)=1 e pede:
– (a) Provar que, se amid b,c, então amid c.
– (b) Questionar se apenas a condição amid b,c (sem exigir gcd(a,b)=1) já garantiria amid c.
O conteúdo principal é usar a identidade de Bézout (vinda da condição gcd(a,b)=1) para concluir a divisibilidade.

Passo 2

Como gcd(a,b)=1, existe combinação linear inteira—chamada identidade de Bézout—tal que
a,u + b,v = 1
para alguns inteiros u,v.

Passo 3

Multiplicando essa identidade por c, obtemos
a,(u,c) + b,(v,c) = c
Agora, a divide o primeiro termo a,(u,c) obviamente, e por hipótese amid b,c implica amid b,(v,c). Logo a divide a soma dos dois termos, que é exatamente c. Concluímos
amid c

Passo 4

Para (b), perguntamos: se só soubermos que amid b,c, sem exigir gcd(a,b)=1, já teríamos amid c? A resposta é não. Por exemplo, tome
a = 6, b=4, c=3
Então b,c = 4cdot3 = 12 é múltiplo de 6, ou seja 6mid12. Porém 6notmid3. Observe também que gcd(6,4)=2neq1. Portanto, sem a condição gcd(a,b)=1 não se garante amid c.

Resposta

(a) Usando a identidade de Bézout conclui-se que amid c.
(b) Não: por exemplo, 6mid(4cdot3) mas 6notmid3, já que gcd(6,4)neq1.

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