Encontre uma equação vetorial e equações paramétricas para o segmento de reta que liga P e Q.
17. P(1,-1,2),
Q(4,1,7)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que ele nos deu.
  • O enunciado pede: encontrar uma equação vetorial e as equações paramétricas para o segmento de reta que liga os pontos P e Q.
  • Os dados fornecidos são as coordenadas dos pontos:
    • P(1,-1,2)
    • Q(4,1,7)

Passo 2

Entender o que significa “equação vetorial do segmento” e que informação precisamos obter a partir dos pontos dados.
  • Um segmento de reta entre P e Q pode ser descrito por uma posição inicial \vec{r}_0 (um dos pontos) e um vetor direção \vec{v} que aponta de P para Q.
  • O vetor direção \vec{v} é obtido subtraindo as coordenadas de P das de Q: \vec{v}=\overrightarrow{PQ}=\vec{Q}-\vec{P}.

Passo 3

Calcular o vetor direção passo a passo, componente a componente.
  • As coordenadas de P são (1,-1,2) e de Q são (4,1,7).
  • Subtraindo componente a componente: \vec{v}=\overrightarrow{PQ}=(4-1,\;1-(-1),\;7-2).
  • Calculando cada diferença: \vec{v}=(3,\;2,\;5).

Passo 4

Escrever a equação vetorial do segmento usando o ponto inicial P e o vetor direção \vec{v}. Explicar o papel do parâmetro.
  • A forma padrão da equação vetorial de uma reta começando em \vec{r}_0 com vetor direção \vec{v} é \vec{r}(t)=\vec{r}_0+t\vec{v}.Aqui \vec{r}(t) é o vetor posição de um ponto genérico da reta quando o parâmetro é t; \vec{r}_0 é um ponto conhecido (aqui escolhemos P); \vec{v} é o vetor direção.
  • Para o nosso segmento, tomando \vec{r}_0=\overrightarrow{OP}=\langle 1,-1,2\rangle e \vec{v}=\langle 3,2,5\rangle, a equação vetorial fica \vec{r}(t)=\langle 1,-1,2\rangle + t\langle 3,2,5\rangle.
  • Para que essa expressão descreva exatamente o segmento entre P e Q (e não a reta inteira), restringimos o parâmetro ao intervalo 0\le t\le 1.Com essa escolha, t=0 dá o ponto P e t=1 dá o ponto Q.

Passo 5

Derivar as equações paramétricas (componentes) a partir da equação vetorial e checar os extremos.
  • Da equação vetorial \vec{r}(t)=\langle 1+3t,\;-1+2t,\;2+5t\rangle,extraímos as equações paramétricas: x=1+3t,
y=-1+2t,
z=2+5t,
com 0\le t\le 1.
  • Verificação rápida dos extremos:
    • Para t=0: (x,y,z)=(1,-1,2), que é P.
    • Para t=1: (x,y,z)=(4,1,7), que é Q.
      Então está correto.

Passo 6

Um exemplo prático para fixar a ideia (opcional, mas útil): ponto médio do segmento.
  • O ponto médio corresponde a t=\tfrac{1}{2}. Substituindo em cada equação: x\Big|_{t=1/2}=1+3\cdot\frac{1}{2}=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2},
y\Big|_{t=1/2}=-1+2\cdot\frac{1}{2}=-1+1=0,
z\Big|_{t=1/2}=2+5\cdot\frac{1}{2}=2+\frac{5}{2}=\frac{9}{2}.
  • Então o ponto médio é \left(\tfrac{5}{2},0,\tfrac{9}{2}\right), que é obtido diretamente pela mesma parametrização.

Resposta

\vec{r}(t)=\langle 1,-1,2\rangle + t\langle 3,2,5\rangle,\quad 0\le t\le 1
x=1+3t,\quad y=-1+2t,\quad z=2+5t,\quad 0\le t\le 1

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