Encontre uma equação vetorial e equações paramétricas para o segmento de reta que liga P e Q.
17. P(1,-1,2), Q(4,1,7)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que ele nos deu.
O enunciado pede: encontrar uma equação vetorial e as equações paramétricas para o segmento de reta que liga os pontos P e Q.
Os dados fornecidos são as coordenadas dos pontos:
P(1,-1,2)
Q(4,1,7)
Passo 2
Entender o que significa “equação vetorial do segmento” e que informação precisamos obter a partir dos pontos dados.
Um segmento de reta entre P e Q pode ser descrito por uma posição inicial \vec{r}_0 (um dos pontos) e um vetor direção \vec{v} que aponta de P para Q.
O vetor direção \vec{v} é obtido subtraindo as coordenadas de P das de Q: \vec{v}=\overrightarrow{PQ}=\vec{Q}-\vec{P}.
Passo 3
Calcular o vetor direção passo a passo, componente a componente.
As coordenadas de P são (1,-1,2) e de Q são (4,1,7).
Subtraindo componente a componente:\vec{v}=\overrightarrow{PQ}=(4-1,\;1-(-1),\;7-2).
Calculando cada diferença:\vec{v}=(3,\;2,\;5).
Passo 4
Escrever a equação vetorial do segmento usando o ponto inicial P e o vetor direção \vec{v}. Explicar o papel do parâmetro.
A forma padrão da equação vetorial de uma reta começando em \vec{r}_0 com vetor direção \vec{v} é\vec{r}(t)=\vec{r}_0+t\vec{v}.Aqui \vec{r}(t) é o vetor posição de um ponto genérico da reta quando o parâmetro é t; \vec{r}_0 é um ponto conhecido (aqui escolhemos P); \vec{v} é o vetor direção.
Para o nosso segmento, tomando \vec{r}_0=\overrightarrow{OP}=\langle 1,-1,2\rangle e \vec{v}=\langle 3,2,5\rangle, a equação vetorial fica\vec{r}(t)=\langle 1,-1,2\rangle + t\langle 3,2,5\rangle.
Para que essa expressão descreva exatamente o segmento entre P e Q (e não a reta inteira), restringimos o parâmetro ao intervalo0\le t\le 1.Com essa escolha, t=0 dá o ponto P e t=1 dá o ponto Q.
Passo 5
Derivar as equações paramétricas (componentes) a partir da equação vetorial e checar os extremos.
Da equação vetorial\vec{r}(t)=\langle 1+3t,\;-1+2t,\;2+5t\rangle,extraímos as equações paramétricas:x=1+3t,
y=-1+2t,
z=2+5t,
com 0\le t\le 1.
Verificação rápida dos extremos:
Para t=0: (x,y,z)=(1,-1,2), que é P.
Para t=1: (x,y,z)=(4,1,7), que é Q.
Então está correto.
Passo 6
Um exemplo prático para fixar a ideia (opcional, mas útil): ponto médio do segmento.
O ponto médio corresponde a t=\tfrac{1}{2}. Substituindo em cada equação:x\Big|_{t=1/2}=1+3\cdot\frac{1}{2}=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2},