Considere a função f(x)=\ln (\cos x)+e^{x}. Podemos afirmar que:
a) f(0)=f^{\prime}(0)=f^{\prime \prime}(0)
b) f(0)=f^{\prime}(0)<f^{\prime \prime}(0)
c) f(0)<f^{\prime}(0)<f^{\prime \prime}(0)
d) f^{\prime \prime}(0)<f^{\prime}(0)=f(0)
e) f^{\prime \prime}(0)<f^{\prime}(0)<f(0)

Passo 1

Estamos com a função \displaystyle f(x)=\ln\bigl(\cos x\bigr)+e^{x}.
O objetivo é calcular f(0), f'(0) e f''(0) usando regras de derivação (cadeia, derivada de \ln u, de \tan e de e^x), para então comparar esses valores entre si.

Passo 2

Para f(0) basta substituir x=0:
f(0)=\ln\bigl(\cos 0\bigr)+e^{0} =\ln(1)+1=0+1=1.

Passo 3

Derivando, usando \tfrac{d}{dx}\ln u =u'/u e \tfrac{d}{dx}e^x=e^x:
f'(x)=-\frac{\sin x}{\cos x}+e^x=-\tan x+e^x.
Logo,
f'(0)=-\tan 0+e^0=0+1=1.

Passo 4

Derivando de novo, lembrando que \tfrac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^2x:
f''(x)=-\operatorname{sec}^2x+e^x.
Então
f''(0)=-\operatorname{sec}^2(0)+e^0=-1+1=0.

Passo 5

Temos
f(0)=1,\quad f'(0)=1,\quad f''(0)=0.
Portanto f''(0)<f'(0)=f(0), que é a alternativa (d).

Resposta

d) f''(0)<f'(0)=f(0)

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