Sejam f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} funções reais tais que f(x)=3 x-1 \mathrm{e} (f \circ g)(x)=6 x^{2}+9 x-1. O conjunto solução da inequação g(x)<0 é:
а) (-3 / 2,0)
d) (-\infty,-3 / 2)
b) (-3 / 2,3 / 2)
e) (0,3 / 2)
c) (-\infty,-3 / 2) \cup(0,+\infty)

Passo 1

O enunciado dá duas funções reais f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} com
f(x)=3x-1
e afirma que
(f\circ g)(x)=6x^{2}+9x-1
e pede o conjunto solução da inequação g(x)<0.
O conteúdo usado será composição de funções para encontrar g(x) e depois resolução de inequação quadrática.

Passo 2

Escrevendo a composição temos
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr)=3\,g(x)-1.
Como isso deve ser igual a 6x^{2}+9x-1, igualamos:
3\,g(x)-1=6x^{2}+9x-1.
Somando 1 em ambos os lados,
3\,g(x)=6x^{2}+9x,
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g(x)=2x^{2}+3x.

Passo 3

Agora resolvemos a inequação
g(x)<0 \quad\Longleftrightarrow\quad 2x^{2}+3x<0.
Fatorando:
2x^{2}+3x = x\,(2x+3),
então
x\,(2x+3)<0.

Passo 4

As raízes da expressão são x=0 e 2x+3=0\Rightarrow x=-\tfrac{3}{2}.
Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola abre para cima e a expressão é negativa entre as raízes. Portanto,
g(x)<0 \quad\Longleftrightarrow\quad -\tfrac{3}{2}<x<0,
ou seja, o intervalo \bigl(-\tfrac{3}{2},0\bigr).

Resposta

(a) \bigl(-\tfrac{3}{2},0\bigr)

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