O domínio da função f(x)=\frac{\sqrt{-x^{2}+4}}{\ln (x+2)} é:
a) (-2,2]
b) (-\infty,-2) \cup[2,+\infty)
c) [2,+\infty)
d) (-\infty,-2)
e) (-2,-1) \cup(-1,2]

Passo 1

O enunciado pede o domínio de
f(x) = \frac{\sqrt{-x^{2}+4}}{\ln(x+2)}.
Para determinar o domínio, precisamos respeitar simultaneamente:
  1. O radicando da raiz quadrada deve ser não negativo.
  2. O argumento do logaritmo deve ser positivo.
  3. O denominador não pode ser zero.

Passo 2

A condição para a raiz quadrada existir é
-x^{2}+4 \ge 0,
isto é,
x^{2} \le 4 \quad\Longrightarrow\quad -2 \le x \le 2.

Passo 3

Para o logaritmo natural estar definido, precisamos de
x+2 > 0 \quad\Longrightarrow\quad x > -2.

Passo 4

Além disso, como \ln(x+2) está no denominador, deve valer
\ln(x+2) \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad x+2 \neq 1 \quad\Longrightarrow\quad x \neq -1.

Passo 5

Agora intersectamos todas as condições:
  1. -2 < x \le 2 (da interseção de -2\le x\le2 com x>-2),
  2. x \neq -1.
    Logo, o domínio é
(-2,-1)\;\cup\;(-1,2].

Resposta

e) (-2,-1)\cup(-1,2]

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