Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função derivável com inversa g derivável. Se f(2)=f^{\prime}(2)=1, podemos afirmar que:
a) g(1)=2 e g^{\prime}(1)=2
b) g(1)=1 e g^{\prime}(1)=1
c) g(1)=2 e g^{\prime}(1)=1
d) g(1)=2 e g^{\prime}(1)=1 / 2
e) g(1)=1 e g^{\prime}(1)=1 / 2

Passo 1

O enunciado diz que f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é diferenciável e bijetora, com inversa diferenciável g. Sabemos que
f(2)=1 \quad\text{e}\quad f'(2)=1.
Queremos achar g(1) e g'(1). Para isso, usaremos que g(f(x))=x e a fórmula
g'(y)=\frac1{f'\bigl(g(y)\bigr)}.

Passo 2

De f(2)=1 segue
g(1)=g\bigl(f(2)\bigr)=2.

Passo 3

Pela fórmula da derivada da inversa, em y=1 temos
g'(1) =\frac1{f'\bigl(g(1)\bigr)} =\frac1{f'(2)} =\frac1{1} =1.

Resposta

(c) g(1)=2 e g'(1)=1

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