Considere os limites abaixo.
I) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}+x}{e^{-x}-1}
II) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{tg}(2 x)}{x}
III) \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{x}
IV) \lim _{x \rightarrow+\infty} \operatorname{sen}(x) \sqrt{1 / x}
Quantos desses limites são iguais a 0 ?
a)Nenhum.
b)Apenas um.
c)Apenas dois.
d)Apenas três.
e) Todos.

Passo 1

O enunciado pede para avaliar quatro limites e contar quantos deles são iguais a zero. O conteúdo principal envolve cálculo de limites em x\to0 usando aproximações de série e limites em x\to+\infty usando o teorema do sanduíche.

Passo 2

Para I) \lim_{x\to0}\frac{x^{2}+x}{e^{-x}-1}:
Expandimos e^{-x} em série de Taylor até a ordem x:
e^{-x}-1 = -x + O(x^{2}).
Então
\frac{x^{2}+x}{e^{-x}-1} = \frac{x(1+x)}{-x + O(x^{2})} = \frac{x}{-x}\,\frac{1+x}{1 + O(x)} \;\xrightarrow[x\to0]{}\;-1.
Portanto esse limite vale -1, não zero.

Passo 3

Para II) \lim_{x\to0}\frac{\tan(2x)}{x}:
Usamos que, para u\to0, \tan(u)\sim u. Aqui u=2x, logo
\tan(2x)\sim 2x \quad\Longrightarrow\quad \frac{\tan(2x)}{x}\sim \frac{2x}{x}=2.
Esse limite vale 2, não zero.

Passo 4

Para III) \lim_{x\to0^{+}} x^{x}:
Escrevemos
x^{x} = e^{x\ln x}.
Como x\ln x \to 0 quando x\to0^{+}, segue
x^{x} \to e^{0} = 1.
Portanto esse limite vale 1, não zero.

Passo 5

Para IV) \lim_{x\to+\infty}\sin(x)\sqrt{1/x}:
Temos \sin(x) limitado em [-1,1] e \sqrt{1/x}\to0. Pelo teorema do sanduíche,
-\,\sqrt{\tfrac1x}\;\le\;\sin(x)\sqrt{\tfrac1x}\;\le\;\sqrt{\tfrac1x} \quad\Longrightarrow\quad \sin(x)\sqrt{\tfrac1x}\;\to\;0.
Logo esse limite é zero.

Passo 6

Dos quatro limites, apenas o IV) é igual a zero. Portanto exatamente um dos limites vale zero.

Resposta

b) Apenas um.

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