Considere a função f(x)=\ln (|x|). Em cada item, faça o que se pede.
a) Mostre que f(x)=-\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1}(x+1)^{n+1} para os valores nos quais a série converge;
b) Determine o raio e o intervalo de convergência da série obtida no item a );
c) Determine o valor da soma \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{n+1}(n+1)}. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\ln\bigl|x\bigr|
e pede em (a) mostrar que ela se expande em série de potências em torno de x=-1 como
f(x)=-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}(x+1)^{n+1},
em (b) determinar o raio e o intervalo de convergência dessa série, e em (c) usar a série para calcular
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{n+1}(n+1)}.
Para isso, vamos usar o desenvolvimento
\ln(1-u)=-\sum_{n=0}^\infty\frac{u^{\,n+1}}{n+1},\quad|u|<1,
testes de convergência e a identificação de valores de x que tornam (x+1)^{n+1} igual a \bigl(\tfrac12\bigr)^{n+1}.

Passo 2

Defina
h = x+1.
Então
f(x)=\ln|x|=\ln\bigl|h-1\bigr|=\ln\bigl|1-h\bigr|.
Para |h|<1 (isto é, |x+1|<1) podemos aplicar
\ln(1-h)=-\sum_{n=0}^\infty\frac{h^{\,n+1}}{n+1}.
Substituindo h=x+1 obtemos
f(x)=\ln|1-h|=-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x+1)^{n+1}}{n+1},
que é exatamente a série pedida no item (a).

Passo 3

O raio de convergência R vem da condição |x+1|<1, logo R=1. Isto significa -2<x<0. Agora testamos os extremos:
  1. Em x=0 temos x+1=1 e a série vira -\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n+1}, que diverge (harmônica).
  2. Em x=-2 temos x+1=-1 e a série vira
-\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n+1} =\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n+1},
que converge (série alternada) e de fato soma \ln2, compatível com f(-2)=\ln2.
Portanto o intervalo de convergência é
-2 \le x < 0.

Passo 4

Para calcular
S=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{n+1}(n+1)} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(1/2)^{n+1}}{n+1},
basta reconhecer que isso equivale à série
\sum_{n=0}^\infty\frac{h^{\,n+1}}{n+1}
com h=1/2. Como vimos em (a),
\sum_{n=0}^\infty\frac{h^{\,n+1}}{n+1}=-\ln(1-h),
logo, para h=\tfrac12,
S=-\ln\bigl(1-\tfrac12\bigr)=-\ln\bigl(\tfrac12\bigr)=\ln2.

Resposta

(a) \displaystyle f(x)=-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}(x+1)^{n+1}.
(b) Raio de convergência R=1; intervalo de convergência -2\le x<0.
(c) \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{n+1}(n+1)}=\ln2.

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