Resolva o P.V.I abaixo usando séries de potências:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
usando séries de potências. O conteúdo envolvido é a solução de equações diferenciais ordinárias lineares de primeira ordem via desenvolvimento em série em torno de
.
Passo 2
Vamos supor que a solução
admita uma expansão em série de potências centrada em
:
Então
Passo 3
Substituindo em
obtemos
No primeiro somatório faça
e no segundo faça
. Igualando coeficientes de
dá, para
,
e para
,
Passo 4
A condição inicial
impõe
. Como
, fica claro que todos os coeficientes ímpares são zero. Para os pares, note que se
então
Iterando a partir de
resulta
Passo 5
Portanto a série solução é
Resposta
ou, em série de potências,