Resolva o P.V.I abaixo usando séries de potências:
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}-2 x y=0 \\\ y(0)=\pi \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\begin{cases} y' - 2\,x\,y = 0,\\\ y(0)=\pi \end{cases}
usando séries de potências. O conteúdo envolvido é a solução de equações diferenciais ordinárias lineares de primeira ordem via desenvolvimento em série em torno de x=0.

Passo 2

Vamos supor que a solução y(x) admita uma expansão em série de potências centrada em 0:
y(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n\,x^n.
Então
y'(x)=\sum_{n=1}^\infty n\,a_n\,x^{n-1} \quad\text{e}\quad 2\,x\,y(x)=2\sum_{n=0}^\infty a_n\,x^{n+1}.

Passo 3

Substituindo em y' - 2xy=0 obtemos
\sum_{n=1}^\infty n\,a_n\,x^{n-1} -2\sum_{n=0}^\infty a_n\,x^{n+1} =0.
No primeiro somatório faça m=n-1 e no segundo faça m=n+1. Igualando coeficientes de x^m dá, para m=0,
1\cdot a_1=0\quad\Longrightarrow\quad a_1=0,
e para m\ge1,
(m+1)\,a_{m+1}-2\,a_{m-1}=0 \quad\Longrightarrow\quad a_{m+1}=\frac{2}{m+1}\,a_{m-1}.

Passo 4

A condição inicial y(0)=\pi impõe a_0=\pi. Como a_1=0, fica claro que todos os coeficientes ímpares são zero. Para os pares, note que se m=2k-1 então
a_{2k} =\frac{2}{2k}\,a_{2k-2} =\frac1{k}\,a_{2k-2}.
Iterando a partir de a_0 resulta
a_{2k} =\frac1{k!}\,a_0 =\frac{\pi}{k!}.

Passo 5

Portanto a série solução é
y(x) =\sum_{k=0}^\infty a_{2k}\,x^{2k} =\sum_{k=0}^\infty\frac{\pi}{k!}\,x^{2k} =\pi\sum_{k=0}^\infty\frac{(x^2)^k}{k!} =\pi\,e^{x^2}.

Resposta

y(x)=\pi\,e^{x^2},
ou, em série de potências,
y(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{\pi}{k!}\,x^{2k}.

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