Seja f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n 2^{n}} x^{n}. Responda os itens abaixo:
a) Qual o domínio da função f ? (intervalo de convergência da série)
b) Determine uma representação em série de pontências para a derivada da função f, ou seja, para f^{\prime}(x). Determine o intervalo de convergência da série obtida.
c) Determine uma representação em série de potências para \int_{0}^{x} f(t) d t e determine o intervalo de convergência da série obtida.

Passo 1

O enunciado define
f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n\,2^{n}}\,x^{n}.
Isso é uma série de potências com coeficientes a_{n}=\frac{(-1)^{n+1}}{n\,2^{n}}. Para achar o intervalo de convergência (domínio de f) usamos o Teste da Razão:
L=\lim_{n\to\infty}\Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\Bigr| =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{(n+1)2^{n+1}}}{\frac{1}{n\,2^{n}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}\,\frac1{2}=\frac12.
Logo o raio de convergência é
R=\frac{1}{L}=2.
Depois checamos os extremos x=2 e x=-2 para ver convergência condicional ou divergência.

Passo 2

Analisando x=2:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n\,2^{n}}\,2^{n} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n},
que é a série harmônica alternada, convergente.
Analisando x=-2:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n\,2^{n}}\,(-2)^{n} =\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(-\frac1n\bigr) =-\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n,
que diverge.
Portanto o domínio de f é
(-2,2].

Passo 3

Para obter f'(x) derivamos a série termo a termo:
f'(x) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n\,2^{n}}\;n\,x^{n-1} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{2^{n}}\,x^{n-1}.
Fazendo mudança de índice m=n-1, fica
f'(x) =\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m+2}}{2^{m+1}}\,x^{m} =\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{2^{m+1}}\,x^{m}.
Pelo mesmo raio, essa série converge em |x|<2. Nos extremos x=\pm2 ela não converge.
Logo o intervalo de convergência de f'(x) é
(-2,2).

Passo 4

Para \displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\,dt integramos termo a termo:
\int_{0}^{x}f(t)\,dt =\int_{0}^{x}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n\,2^{n}}\,t^{n}\,dt =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n\,2^{n}}\;\frac{x^{n+1}}{n+1}.
Ou seja,
\int_{0}^{x}f(t)\,dt =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)\,2^{n}}\,x^{n+1}.
O raio segue R=2. Verificando os extremos:
  • Em x=2 obtém-se uma série alternada convergente.
  • Em x=-2 obtém-se uma série telescópica convergente.
    Logo o intervalo de convergência é
[-2,2].

Resposta

a) Domínio de f: (\,-2,\,2].
b)
f'(x)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{2^{m+1}}\,x^{m}, \quad\text{converge em }(-2,2).
c)
\int_{0}^{x}f(t)\,dt =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)\,2^{n}}\,x^{n+1}, \quad\text{converge em }[-2,2].

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