O número
\frac{\int_{\alpha} f(x, y, z) d s}{l(\alpha)}
é chamado valor médio de f ao longo da curva \alpha. Determinar o valor medio de f ao longo de \alpha nos seguintes casos:
f(x, y, z)=x e \alpha(t)=\left(t^{2}, t, 3\right), t \in[0,1].

Passo 1

Nesta questão a gente quer o valor médio de f(x,y,z)=x ao longo da curva \alpha(t)=(t^2,t,3), t\in[0,1]. Por definição o valor médio é
\frac{\displaystyle\int_{\alpha}f\,ds}{\displaystyle l(\alpha)},
ou seja, a gente vai precisar calcular
  1. O comprimento de arco
l(\alpha)=\int_0^1\big\|\alpha'(t)\big\|\,dt,
  1. O integral de linha
\int_{\alpha}f\,ds=\int_0^1 f\big(\alpha(t)\big)\,\big\|\alpha'(t)\big\|\,dt.

Passo 2

Calculemos primeiro \alpha'(t) e seu comprimento instantâneo:
\alpha'(t)=(2t,1,0), \qquad \|\alpha'(t)\|=\sqrt{(2t)^2+1^2+0^2}=\sqrt{4t^2+1}.

Passo 3

Agora escrevemos os dois integrais em termos de t:
l(\alpha)=\int_0^1\sqrt{4t^2+1}\,dt,
\int_{\alpha}f\,ds =\int_0^1 f\big(\alpha(t)\big)\,\|\alpha'(t)\|\,dt =\int_0^1 (t^2)\,\sqrt{4t^2+1}\,dt.

Passo 4

Usamos a antiderivada padrão
\int\sqrt{4t^2+1}\,dt =\frac{t}{2}\sqrt{4t^2+1}+\frac{1}{4}\ln\bigl(2t+\sqrt{4t^2+1}\bigr),
para obter
l(\alpha) =\Bigl[\tfrac{t}{2}\sqrt{4t^2+1}+\tfrac{1}{4}\ln\bigl(2t+\sqrt{4t^2+1}\bigr)\Bigr]_0^1 =\frac{\sqrt5}{2}+\frac{1}{4}\ln\bigl(2+\sqrt5\bigr).

Passo 5

Para \displaystyle N=\int_0^1 t^2\sqrt{4t^2+1}\,dt
fazemos o truque
t^2=\frac{1}{4}\bigl(4t^2+1-1\bigr),
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N =\frac{1}{4}\int_0^1(4t^2+1)^{3/2}\,dt -\frac{1}{4}\int_0^1\sqrt{4t^2+1}\,dt =\frac{1}{4}I_1-\frac{1}{4}l(\alpha),
onde I_1=\int_0^1(4t^2+1)^{3/2}dt.

Passo 6

Para achar I_1 usamos integração por partes ou um artifício algébrico e chegamos à relação
16\,N =\bigl[t\,(4t^2+1)^{3/2}\bigr]_0^1 -\int_0^1\sqrt{4t^2+1}\,dt =5\sqrt5 - l(\alpha).
Daí
N=\frac{5\sqrt5 - l(\alpha)}{16} =\frac{5\sqrt5}{16}-\frac{1}{16}\Bigl(\frac{\sqrt5}{2}+\frac14\ln(2+\sqrt5)\Bigr) =\frac{9\sqrt5}{32}-\frac{1}{64}\ln\bigl(2+\sqrt5\bigr).

Passo 7

O valor médio é
\frac{N}{l(\alpha)} =\frac{\displaystyle \frac{9\sqrt5}{32}-\frac{1}{64}\ln(2+\sqrt5)} {\displaystyle \frac{\sqrt5}{2}+\frac{1}{4}\ln(2+\sqrt5)}.
Numericamente isso dá aproximadamente 0,41.

Resposta

\text{Valor médio} =\frac{\displaystyle \frac{9\sqrt5}{32}-\frac{1}{64}\ln(2+\sqrt5)} {\displaystyle \frac{\sqrt5}{2}+\frac{1}{4}\ln(2+\sqrt5)} \approx 0,41.é

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