Se C é a curva em R^2 dada pela parametrização r(t)=(t, t^22), com 1 <= t <= 3, então
integralC raiz1+x^2 d r
é igual a
(A) 20 raiz10-4 raiz23.
(B) 12 .
(C) raiz10-raiz2.
(D) 323.
(E) 4 raiz33.
(F) outro valor.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha de primeira espécie (isto é, com elemento de comprimento de arco) da função
f(x,y)=raiz1+x^2
ao longo da curva C parametrizada por
r(t)=l(t,tfract^22r), 1<= t<=3
Para resolver, vamos usar a fórmula
integralC f(x,y),ds =integralt=1^3fl(x(t),y(t)r),|r'(t)|,dt

Passo 2

Calculamos a derivada da parametrização e seu comprimento:
r'(t)=l(tfracddtt,;tfracddttfract^22r)=(1,;t),
|r'(t)| =raiz1^2+t^2 =raiz1+t^2

Passo 3

Substituímos x(t)=t em f e montamos o integrando:
fl(x(t),y(t)r) =raiz1+t^2,
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fl(x(t),y(t)r),|r'(t)| =raiz1+t^2,raiz1+t^2 =1+t^2

Passo 4

Agora integramos em t de 1 a 3:
integral1^3(1+t^2),dt =l[t+tfract^33r]1^3 =l(3+tfrac273r)-l(1+tfrac13r) =12-tfrac43 =tfrac323

Resposta

A opção correta é (D) tfrac323.

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