5: Seja o conjunto de funções base
\phi_{0}(x)=1, \quad \phi_{n}^{\text{(c)}}(x)=\cos \left(\frac{n \pi x}{p}\right), \quad n=1,2, \ldots
a) Mostre que o conjunto é ortogonal em ( 0, p ).
b) Calcule as normas \left\|\phi_{0}\right\| e \left\|\phi_{n}^{\text{(c)}}\right\|.

Passo 1

O enunciado nos dá as funções
\phi_{0}(x)=1,\qquad \phi_{n}^{\text{(c)}}(x)=\cos\!\Bigl(\frac{n\pi x}{p}\Bigr),\;n=1,2,\dots
no intervalo (0,p), e pede:
– (a) mostrar que esse conjunto é ortogonal em (0,p);
– (b) calcular as normas \|\phi_{0}\| e \|\phi_{n}^{\text{(c)}}\|.
Vamos usar o produto interno padrão
\langle f,g\rangle=\int_{0}^{p}f(x)\,g(x)\,dx
e as propriedades de integrais de cosseno.

Passo 2

Mostramos primeiro que \phi_{0} é ortogonal a qualquer \phi_{n}^{\text{(c)}} com n\ge1.
\langle\phi_{0},\phi_{n}^{\text{(c)}}\rangle =\int_{0}^{p}1\cdot\cos\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{p}\Bigr)\,dx =\Bigl[\frac{p}{n\pi}\,\sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{p}\Bigr)\Bigr]_{0}^{p} =\frac{p}{n\pi}\bigl(\sin(n\pi)-0\bigr)=0.

Passo 3

Agora mostramos que \phi_{n}^{\text{(c)}} e \phi_{m}^{\text{(c)}} são ortogonais sempre que n\neq m. Usamos a identidade
\cos A\cos B =\tfrac12\bigl[\cos(A-B)+\cos(A+B)\bigr].
Então
\langle\phi_{n}^{\text{(c)}},\phi_{m}^{\text{(c)}}\rangle =\int_{0}^{p}\cos\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{p}\Bigr)\cos\!\Bigl(\tfrac{m\pi x}{p}\Bigr)\,dx =\tfrac12\int_{0}^{p}\bigl[\cos\!\bigl(\tfrac{(n-m)\pi x}{p}\bigr) +\cos\!\bigl(\tfrac{(n+m)\pi x}{p}\bigr)\bigr]dx.
Cada termo integra-se a \frac{p}{(n\pm m)\pi}\sin\bigl((n\pm m)\pi\bigr)=0, logo o produto interno é zero.

Passo 4

Calculamos a norma de \phi_{0}:
\|\phi_{0}\|^{2} =\langle\phi_{0},\phi_{0}\rangle =\int_{0}^{p}1^{2}\,dx =\;p,
portanto
\|\phi_{0}\|=\sqrt{p}.

Passo 5

Calculamos a norma de \phi_{n}^{\text{(c)}} para n\ge1:
\|\phi_{n}^{\text{(c)}}\|^{2} =\int_{0}^{p}\cos^{2}\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{p}\Bigr)\,dx =\tfrac12\int_{0}^{p}\Bigl[1+\cos\!\bigl(\tfrac{2n\pi x}{p}\bigr)\Bigr]dx =\tfrac12\Bigl[p+\Bigl(\frac{p}{2n\pi}\sin\!\tfrac{2n\pi x}{p}\Bigr)_{0}^{p}\Bigr] =\frac{p}{2},
pois o termo com seno também zera. Daí
\|\phi_{n}^{\text{(c)}}\|=\sqrt{\tfrac{p}{2}}.

Resposta

O conjunto é ortogonal em (0,p) e
\|\phi_{0}\|=\sqrt{p}, \qquad \|\phi_{n}^{\text{(c)}}\|=\sqrt{\tfrac{p}{2}}\quad(n\ge1).

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