Encontre o valor exato de cada uma das expressões, se não existir o valor diga por que o mesmo não está definido: \operatorname{cotg}\left(\operatorname{sen}^{-1}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)
O argumento da função inversa é -\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
A tarefa é calcular o valor exato da cotangente desse ângulo ou dizer por que não está definido.
Passo 2
Definir a variável ângulo: seja \theta=\operatorname{sen}^{-1}\!\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right). Isso significa que
\sin\theta=-\frac{\sqrt{3}}{2}
e que \theta é o valor principal de \operatorname{sen}^{-1}, ou seja \theta\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right].
Passo 3
Encontrar \theta analisando valores conhecidos de seno. Sabe-se que \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Como precisamos de \sin\theta=-\dfrac{\sqrt{3}}{2} e a faixa principal de \operatorname{sen}^{-1} inclui ângulos negativos até -\dfrac{\pi}{2}, o ângulo que serve é
\theta=-\frac{\pi}{3},
pois \sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2} e -\dfrac{\pi}{3}\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right].
Passo 4
Expressar a cotangente em termos de seno e cosseno. Por definição,
Vamos calcular \cos\theta a partir de \sin\theta. Usando a identidade pitagórica:
\cos\theta=\pm\sqrt{1-\sin^{2}\theta}.
Como \theta=-\dfrac{\pi}{3} está no intervalo \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right], o cosseno é não negativo, portanto escolhemos o sinal positivo.
Passo 5
Calcular \cos\theta com \sin\theta=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}:
Verificação de definição: \sin\theta=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\neq 0, logo \operatorname{cotg}\theta está bem definida (cotangente só seria indefinida se \sin\theta=0).