Encontre o valor exato de cada uma das expressões, se não existir o valor diga por que o mesmo não está definido:
\operatorname{cotg}\left(\operatorname{sen}^{-1}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor exato de
\operatorname{cotg}\!\left(\operatorname{sen}^{-1}\!\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right).
Informações dadas:
  • O argumento da função inversa é -\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • A tarefa é calcular o valor exato da cotangente desse ângulo ou dizer por que não está definido.

Passo 2

Definir a variável ângulo: seja \theta=\operatorname{sen}^{-1}\!\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right). Isso significa que
\sin\theta=-\frac{\sqrt{3}}{2}
e que \theta é o valor principal de \operatorname{sen}^{-1}, ou seja \theta\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right].

Passo 3

Encontrar \theta analisando valores conhecidos de seno. Sabe-se que \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Como precisamos de \sin\theta=-\dfrac{\sqrt{3}}{2} e a faixa principal de \operatorname{sen}^{-1} inclui ângulos negativos até -\dfrac{\pi}{2}, o ângulo que serve é
\theta=-\frac{\pi}{3},
pois \sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2} e -\dfrac{\pi}{3}\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right].

Passo 4

Expressar a cotangente em termos de seno e cosseno. Por definição,
\operatorname{cotg}\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}.
Vamos calcular \cos\theta a partir de \sin\theta. Usando a identidade pitagórica:
\cos\theta=\pm\sqrt{1-\sin^{2}\theta}.
Como \theta=-\dfrac{\pi}{3} está no intervalo \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right], o cosseno é não negativo, portanto escolhemos o sinal positivo.

Passo 5

Calcular \cos\theta com \sin\theta=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}:
\cos\theta=\sqrt{1-\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{1-\frac{3}{4}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}.

Passo 6

Calcular a cotangente:
\operatorname{cotg}\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}=\frac{\tfrac{1}{2}}{-\tfrac{\sqrt{3}}{2}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}.
Racionalizando o denominador:
-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}.

Passo 7

Verificação de definição: \sin\theta=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\neq 0, logo \operatorname{cotg}\theta está bem definida (cotangente só seria indefinida se \sin\theta=0).

Resposta

-\dfrac{\sqrt{3}}{3}

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