Encontre a solução exata de cada equação:
6 \operatorname{sen}^{-1}(3 x)=\pi

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução exata da equação
6\operatorname{sen}^{-1}(3x)=\pi.
Vamos buscar todos os valores de x que tornam essa igualdade verdadeira.

Passo 2

Entendendo a notação e a ideia básica (mini-aula): \operatorname{sen}^{-1}(y) é o arco-seno de y, isto é, o número \theta tal que \sin(\theta)=y. Por convenção (valor principal) \operatorname{sen}^{-1}(y) retorna um \theta no intervalo \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]. Portanto, resolver uma equação que envolve \operatorname{sen}^{-1} costuma passar por isolar o arco-seno e usar a relação \sin(\operatorname{sen}^{-1}(y))=y, verificando sempre se o ângulo obtido está no intervalo principal.

Passo 3

Isolando o arco-seno na equação dada: divido ambos os lados por 6,
\operatorname{sen}^{-1}(3x)=\frac{\pi}{6}.

Passo 4

Aplicando o seno nos dois lados (isto é, usando \sin(\operatorname{sen}^{-1}(y))=y), obtemos
3x=\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right).
Aqui vale ressaltar: é válido aplicar \sin porque \dfrac{\pi}{6} pertence ao intervalo principal \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right], então não há ambiguidade.

Passo 5

Calculo o seno conhecido:
\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}.
Substituindo,
3x=\frac{1}{2}.

Passo 6

Isolando x:
x=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}.

Passo 7

Verificação de domínio (importante!): o argumento de \operatorname{sen}^{-1} deve satisfazer 3x\in[-1,1], ou seja x\in\left[-\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3}\right]. O valor x=\dfrac{1}{6} pertence a esse intervalo, portanto é uma solução válida. Além disso, como \operatorname{sen}^{-1} é função com valor principal único, não existem outras soluções provenientes de múltiplos de 2\pi — a solução encontrada é única no âmbito da notação \operatorname{sen}^{-1}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}

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