Considere a muperficie duda pela funçio
f(x, y)=x^2 y+x^3 y^2
e o ponto P(1,2, f(1,2)). Determine a equação do plano tangente à perficie no ponto P.

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície z = f(x,y) com
f(x,y)=x^2y + x^3y^2
e pede o plano tangente em P=(1,2,f(1,2)). Para isso usamos a fórmula do plano tangente a uma superfície z=f(x,y) em (x0,y0,z0):
z - z0 = fx(x0,y0),(x-x0) + fy(x0,y0),(y-y0)

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
fx(x,y) = partialpartial xl(x^2y + x^3y^2r) = 2xy + 3x^2y^2,
fy(x,y) = partialpartial yl(x^2y + x^3y^2r) = x^2 + 2x^3y

Passo 3

Avaliamos as derivadas em (x0,y0)=(1,2) e obtemos também z0=f(1,2):
fx(1,2) = 2cdot1cdot2 + 3cdot1^2cdot2^2 = 4 + 12 = 16,
fy(1,2) = 1^2 + 2cdot1^3cdot2 = 1 + 4 = 5,
z0 = f(1,2) = 1^2cdot2 + 1^3cdot2^2 = 2 + 4 = 6

Passo 4

Substituindo na fórmula do plano tangente:
z - 6 = 16,(x-1) + 5,(y-2)
Expandindo e rearranjando, obtemos
z = 16x -16 +5y -10 +6 = 16x + 5y -20

Resposta

z = 16x + 5y - 20

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