Considere a função
e sabendo que sua derivada é
, calcule a inclinação de
em:
c)
c)
Passo 1
O enunciado dá:
- A função
. - A derivada conhecida
.
A pergunta (item c) é: calcular a inclinação deem — ou seja, encontrar a inclinação (o declive) da reta tangente à curva no ponto onde .
Observação sobre a imagem: peguei da imagem que o ponto marcado
está aproximadamente nas coordenadas
. Vou usar esse dado como verificação, mas a inclinação será obtida diretamente pela derivada.
Passo 2
O que significa “inclinação de
em
”?
- A inclinação da curva
em um ponto é a inclinação da reta tangente nesse ponto. - A derivada
é exatamente essa inclinação: ela dá quantos unidades a função sobe (variação em ) quando se avança uma unidade em perto de .
Em fórmulas: a inclinação da reta tangente emé
Então, para achar a inclinação em
basta avaliar
em
.
Passo 3
Substituir
na expressão da derivada:
Passo 4
Para contextualizar (e verificar a posição do ponto), calcula-se
:
ou seja, o ponto de tangência tem coordenadas
(isso confirma o ponto
visto na imagem).
Também é útil saber a equação da reta tangente em
; usando a forma ponto-declive:
Substituindo as expressões que temos:
onde
foi deixado já computado simbolicamente em
no passo anterior.
Passo 5
Interpretação prática e incentivo: a inclinação
diz que, perto de
, ao andar 1 unidade para a direita em
a curva sobe cerca de
unidades em
. É uma informação local muito útil para esboçar a reta tangente ou estimar variações pequenas da função. Boa! Você já tem tudo para usar isso em questões de tangente, linearização ou aproximação.