Considere a função f(x)=x^{2} e sabendo que sua derivada é f^{\prime}(x)=2 x, calcule a inclinação de f em:
c) x=2

Passo 1

O enunciado dá:
  • A função f(x)=x^{2}.
  • A derivada conhecida f'(x)=2x.
    A pergunta (item c) é: calcular a inclinação de f em x=2 — ou seja, encontrar a inclinação (o declive) da reta tangente à curva no ponto onde x=2.
Observação sobre a imagem: peguei da imagem que o ponto marcado C está aproximadamente nas coordenadas (2,4). Vou usar esse dado como verificação, mas a inclinação será obtida diretamente pela derivada.

Passo 2

O que significa “inclinação de f em x=a”?
  • A inclinação da curva f em um ponto é a inclinação da reta tangente nesse ponto.
  • A derivada f'(a) é exatamente essa inclinação: ela dá quantos unidades a função sobe (variação em y) quando se avança uma unidade em x perto de a.
    Em fórmulas: a inclinação da reta tangente em x=a é
m_{\text{tangente}} = f'(a).
Então, para achar a inclinação em x=2 basta avaliar f' em 2.

Passo 3

Substituir x=2 na expressão da derivada:
f'(2)=2\cdot 2.

Passo 4

Para contextualizar (e verificar a posição do ponto), calcula-se f(2):
f(2)=2^{2}=4,
ou seja, o ponto de tangência tem coordenadas (2,4) (isso confirma o ponto C visto na imagem).
Também é útil saber a equação da reta tangente em x=2; usando a forma ponto-declive:
y-f(2)=f'(2)\bigl(x-2\bigr).
Substituindo as expressões que temos:
y-4=f'(2)\bigl(x-2\bigr),
onde f'(2) foi deixado já computado simbolicamente em 2\cdot 2 no passo anterior.

Passo 5

Interpretação prática e incentivo: a inclinação f'(2) diz que, perto de x=2, ao andar 1 unidade para a direita em x a curva sobe cerca de f'(2) unidades em y. É uma informação local muito útil para esboçar a reta tangente ou estimar variações pequenas da função. Boa! Você já tem tudo para usar isso em questões de tangente, linearização ou aproximação.

Resposta

f'(2)=4

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