Nos exercícios 11 a 31, calcule as integrais indefinidas.
\int\left(e^{t}-\sqrt[4]{16 t}+\frac{3}{t^{3}}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral indefinida
\displaystyle \int\left(e^{t}-\sqrt[4]{16 t}+\frac{3}{t^{3}}\right)dt.
Informações dadas e itens presentes no integrando:
\displaystyle e^{t}, \displaystyle \sqrt[4]{16 t} e \displaystyle \frac{3}{t^{3}}.
Queremos um primitivo (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(t) tal que F'(t) seja o integrando.

Passo 2

Primeiro simplifico a parte com raiz para trabalhar com potências, pois é mais fácil integrar potências.
\sqrt[4]{16 t}=(16t)^{1/4}=16^{1/4}\,t^{1/4}=2\,t^{1/4},
já que 16=2^{4} e 16^{1/4}=2.
Assim o integrando fica
\displaystyle e^{t}-2\,t^{1/4}+3\,t^{-3}.

Passo 3

Uso a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes saem da integral. Ou seja,
\int\big(e^{t}-2\,t^{1/4}+3\,t^{-3}\big)dt = \int e^{t}dt - 2\int t^{1/4}dt + 3\int t^{-3}dt.
Isso me permite tratar cada termo separadamente.

Passo 4

Integro o termo \displaystyle \int e^{t}dt.
Conhecimento importante: a derivada de \displaystyle e^{t} é \displaystyle e^{t}, então uma primitiva de \displaystyle e^{t} é
\displaystyle e^{t}.
Portanto
\displaystyle \int e^{t}dt = e^{t}.

Passo 5

Integro o termo com potência positiva usando a regra da potência:
Regra da potência (antiderivada): para n\neq -1,
\int t^{n}dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=\tfrac{1}{4}. Então
\int t^{1/4}dt = \frac{t^{1/4+1}}{1/4+1} = \frac{t^{5/4}}{5/4} = \frac{4}{5}\,t^{5/4}.
Multiplicando pelo fator -2 que estava fora da integral:
-2\int t^{1/4}dt = -2\cdot\frac{4}{5}\,t^{5/4} = -\frac{8}{5}\,t^{5/4}.
Mostrei passo a passo como manipular a fração -2/(5/4) = -2\cdot(4/5) = -8/5.

Passo 6

Integro o termo \displaystyle 3\int t^{-3}dt também pela regra da potência. Aqui n=-3, então n+1=-2 e
\int t^{-3}dt = \frac{t^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2}t^{-2}.
Multiplicando por 3:
3\int t^{-3}dt = 3\cdot\left(-\frac{1}{2}t^{-2}\right) = -\frac{3}{2}t^{-2}.
Se preferir ver sem potenciação negativa, isso é igual a -\dfrac{3}{2t^{2}}.

Passo 7

Juntando os primitivos de cada termo (lembrando de adicionar a constante de integração C no final), obtemos o primitivo buscado. Para ter certeza, posso checar rapidamente derivando cada parcela:
  • \dfrac{d}{dt}e^{t}=e^{t}.
  • \dfrac{d}{dt}\!\left(-\dfrac{8}{5}t^{5/4}\right) = -\dfrac{8}{5}\cdot\dfrac{5}{4}t^{1/4} = -2t^{1/4}.
  • \dfrac{d}{dt}\!\left(-\dfrac{3}{2}t^{-2}\right) = -\dfrac{3}{2}\cdot(-2)t^{-3} = 3t^{-3}.
    Somando dá exatamente o integrando original, logo o primitivo está correto.

Resposta

\displaystyle e^{t}-\frac{8}{5}t^{5/4}-\frac{3}{2}t^{-2}+C

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