Nos exercícios 11 a 31, calcule as integrais indefinidas.
\int\left(e^{t}-\sqrt[4]{16 t}+\frac{3}{t^{3}}\right) d t
\int\left(e^{t}-\sqrt[4]{16 t}+\frac{3}{t^{3}}\right) d t
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral indefinida
.
Informações dadas e itens presentes no integrando:
,
e
.
Queremos um primitivo (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função tal que
seja o integrando.
Informações dadas e itens presentes no integrando:
Queremos um primitivo (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
Passo 2
Primeiro simplifico a parte com raiz para trabalhar com potências, pois é mais fácil integrar potências.
já que
e
.
Assim o integrando fica
.
Assim o integrando fica
Passo 3
Uso a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes saem da integral. Ou seja,
Isso me permite tratar cada termo separadamente.
Passo 4
Integro o termo
.
Conhecimento importante: a derivada de é
, então uma primitiva de
é
.
Portanto
.
Conhecimento importante: a derivada de
Portanto
Passo 5
Integro o termo com potência positiva usando a regra da potência:
Regra da potência (antiderivada): para ,
Regra da potência (antiderivada): para
Aqui
. Então
Multiplicando pelo fator
que estava fora da integral:
Mostrei passo a passo como manipular a fração
.
Passo 6
Integro o termo
também pela regra da potência. Aqui
, então
e
Multiplicando por
:
Se preferir ver sem potenciação negativa, isso é igual a
.
Passo 7
Juntando os primitivos de cada termo (lembrando de adicionar a constante de integração
no final), obtemos o primitivo buscado. Para ter certeza, posso checar rapidamente derivando cada parcela:
-
. -
. -
.
Somando dá exatamente o integrando original, logo o primitivo está correto.