Considere a função f(x)=(x+3)^{4}(x-1).
Calcule os pontos críticos da função. Calcule o valor da função nestes valores e escreva as coordenadas dos pontos calculados abaixo, em ordem crescente de seus valores na coordenada x.
Ponto Crítico 1 = \square
\square )
Ponto Crítico 2 = \square \square )

Passo 1

Estamos com a função
f(x) = (x+3)^{4}(x-1)
e queremos encontrar os pontos críticos, ou seja, todos os x tais que f'(x)=0. Em seguida, vamos avaliar f nesses x e ordenar as coordenadas (x,f(x)) em ordem crescente de x.

Passo 2

Calculemos a derivada usando a regra do produto. Se
u(x)=(x+3)^{4},\quad v(x)=x-1,
então
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x) =4(x+3)^{3}(x-1)+(x+3)^{4}\cdot1.
Fatorando (x+3)^{3}, temos
f'(x)=(x+3)^{3}\bigl[4(x-1)+(x+3)\bigr].

Passo 3

Simplificando o que está entre colchetes:
4(x-1)+(x+3)=4x-4+x+3=5x-1.
Logo
f'(x)=(x+3)^{3}(5x-1).
Para f'(x)=0 obtemos as raízes
x+3=0\implies x=-3, \qquad 5x-1=0\implies x=\tfrac{1}{5}.

Passo 4

Agora avaliamos f em cada ponto crítico:
Para x=-3:
f(-3) = ((-3)+3)^{4}\bigl((-3)-1\bigr) = 0^{4}\cdot(-4)=0.
Para x=\tfrac{1}{5}:
f\Bigl(\tfrac{1}{5}\Bigr) =\Bigl(\tfrac{1}{5}+3\Bigr)^{4}\Bigl(\tfrac{1}{5}-1\Bigr) =\Bigl(\tfrac{16}{5}\Bigr)^{4}\Bigl(-\tfrac{4}{5}\Bigr) =-\frac{16^{4}\cdot4}{5^{5}} =-\frac{262144}{3125}.

Passo 5

Ordenando em ordem crescente de x, o menor é x=-3 e depois x=\tfrac{1}{5}.

Resposta

Ponto Crítico 1= \bigl(-3,0\bigr)
Ponto Crítico 2= \bigl(\tfrac{1}{5},-\tfrac{262144}{3125}\bigr)

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