4: Seja o conjunto de funções base
\phi_{n}(x)=\sin (n x), \quad n=1,2, \ldots
a) Mostre que o conjunto é ortogonal em ( 0, \pi ).
b) Calcule a norma \left\|\phi_{n}\right\|.

Passo 1

O enunciado define as funções de base \phi_n(x)=\sin(nx) para n=1,2,\dots e pede dois pontos: (a) mostrar que são ortogonais no intervalo (0,\pi) e (b) calcular a norma \|\phi_n\|. Vamos usar o produto interno habitual em L^2(0,\pi), ou seja
\langle \phi_m,\phi_n\rangle=\int_{0}^{\pi}\sin(mx)\,\sin(nx)\,dx,
e identidades trigonométricas para resolver.

Passo 2

Para a ortogonalidade com m\neq n, empregamos a identidade
\sin(mx)\,\sin(nx) =\frac{\cos\bigl((m-n)x\bigr)-\cos\bigl((m+n)x\bigr)}{2}.
Logo
\langle \phi_m,\phi_n\rangle =\int_{0}^{\pi}\frac{\cos((m-n)x)-\cos((m+n)x)}{2}\,dx.

Passo 3

Sabemos que, para qualquer inteiro k\neq 0,
\int_{0}^{\pi}\cos(kx)\,dx =\Bigl[\frac{\sin(kx)}{k}\Bigr]_{0}^{\pi} =0.
No caso m\neq n, tanto k=m-n quanto k=m+n são inteiros não nulos, então cada integral de cosseno vale zero. Logo
\langle \phi_m,\phi_n\rangle=0 \quad\text{para }m\neq n,
o que estabelece a ortogonalidade.

Passo 4

Para m=n, temos
\langle \phi_n,\phi_n\rangle =\int_{0}^{\pi}\sin^2(nx)\,dx.
Usamos a identidade
\sin^2(nx)=\frac{1-\cos(2nx)}{2},
de modo que
\int_{0}^{\pi}\sin^2(nx)\,dx =\int_{0}^{\pi}\frac{1-\cos(2nx)}{2}\,dx =\frac{1}{2}\Bigl[x\Bigr]_0^{\pi} -\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\cos(2nx)\,dx =\frac{\pi}{2}-0 =\frac{\pi}{2}.

Passo 5

A norma de \phi_n é a raiz do produto interno consigo mesma, isto é
\|\phi_n\| =\sqrt{\langle \phi_n,\phi_n\rangle} =\sqrt{\frac{\pi}{2}}.

Resposta

a) As funções \phi_n(x)=\sin(nx) são ortogonais em (0,\pi) pois \langle \phi_m,\phi_n\rangle=0 sempre que m\neq n.
b) A norma de cada \phi_n é
\|\phi_n\|=\sqrt{\frac{\pi}{2}}.

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