4: Seja o conjunto de funções base
a) Mostre que o conjunto é ortogonal em (
).
b) Calcule a norma
.
b) Calcule a norma
Passo 1
O enunciado define as funções de base
para
e pede dois pontos: (a) mostrar que são ortogonais no intervalo
e (b) calcular a norma
. Vamos usar o produto interno habitual em
, ou seja
e identidades trigonométricas para resolver.
Passo 2
Para a ortogonalidade com
, empregamos a identidade
Logo
Passo 3
Sabemos que, para qualquer inteiro
,
No caso
, tanto
quanto
são inteiros não nulos, então cada integral de cosseno vale zero. Logo
o que estabelece a ortogonalidade.
Passo 4
Para
, temos
Usamos a identidade
de modo que
Passo 5
A norma de
é a raiz do produto interno consigo mesma, isto é
Resposta
a) As funções
são ortogonais em
pois
sempre que
.
b) A norma de cada é
b) A norma de cada