Considere a função
Determine as assintotas verticais e horizontais da curva
, se existirem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou a função $ f(x) = \frac{3x}{x^{2} - 2x - 3} $ e pediu para encontrar as assíntotas verticais e horizontais dessa curva. O que vamos precisar aqui é entender um pouco sobre assíntotas e como identificá-las em funções racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas assíntotas acontecem onde o denominador da fração é igual a zero, porque aí a função tende ao infinito (não está definida naquele ponto).
Então, vamos resolver a equação do denominador igual a zero:
Passo 3
Para resolver essa equação quadrática, vamos fatorar:
Isso nos dá duas soluções:
Então, temos duas assíntotas verticais em $ x = 3 $ e $ x = -1 $.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a assíntota horizontal. Para isso, comparamos os graus do polinômio no numerador e no denominador.
- O grau do numerador é 1 (porque temos
). - O grau do denominador é 2 (porque temos
).
Quando o grau do denominador é maior que o do numerador, a assíntota horizontal é $ y = 0 $.
Resposta
As assíntotas verticais da curva $ y = f(x) $ são $ x = 3 $ e $ x = -1 $, e a assíntota horizontal é $ y = 0 $.