Considere a função
f(x)=3 xx^2-2 x-3
(1,5) Determine as assintotas verticais e horizontais da curva y=f(x), se existirem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou a função $ f(x) = \frac{3x}{x^{2} - 2x - 3} $ e pediu para encontrar as assíntotas verticais e horizontais dessa curva. O que vamos precisar aqui é entender um pouco sobre assíntotas e como identificá-las em funções racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas assíntotas acontecem onde o denominador da fração é igual a zero, porque aí a função tende ao infinito (não está definida naquele ponto).
Então, vamos resolver a equação do denominador igual a zero:
x^2 - 2x - 3 = 0

Passo 3

Para resolver essa equação quadrática, vamos fatorar:
x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) = 0
Isso nos dá duas soluções:
x - 3 = 0 implies x = 3
x + 1 = 0 implies x = -1
Então, temos duas assíntotas verticais em $ x = 3 $ e $ x = -1 $.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a assíntota horizontal. Para isso, comparamos os graus do polinômio no numerador e no denominador.
  • O grau do numerador é 1 (porque temos 3x).
  • O grau do denominador é 2 (porque temos x^2).
Quando o grau do denominador é maior que o do numerador, a assíntota horizontal é $ y = 0 $.

Resposta

As assíntotas verticais da curva $ y = f(x) $ são $ x = 3 $ e $ x = -1 $, e a assíntota horizontal é $ y = 0 $.

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