(2.0 pontos)
lim x 0 raiz[3]x^4+1-raiz[3]x^2+1x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x 0 raiz[3]x^4+1-raiz[3]x^2+1x^2
Aqui, estamos lidando com limites e funções radicais de índice 3. Para resolver isso, vamos precisar usar a expansão em série de Taylor para aproximações de funções próximas de 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como expandir uma função da forma (1 + a)^n quando a é pequeno. A fórmula da série de Taylor para essa expressão é:
(1 + a)^n approx 1 + n a + n(n-1)2 a^2 + dots
Nesse caso, vamos aplicar isso para as duas raízes cúbicas no numerador.

Passo 3

Vamos expandir raiz[3]x^4+1 e raiz[3]x^2+1 usando a fórmula acima com n = 13.
Para raiz[3]x^4+1:
raiz[3]x^4+1 = (1 + x^4)^1/3 approx 1 + 13x^4 - 19x^8 + dots
Para raiz[3]x^2+1:
raiz[3]x^2+1 = (1 + x^2)^1/3 approx 1 + 13x^2 - 19x^4 + dots

Passo 4

Agora, vamos subtrair as duas aproximações que obtivemos:
raiz[3]x^4+1 - raiz[3]x^2+1 approx (1 + 13x^4 - 19x^8) - (1 + 13x^2 - 19x^4)
Simplificando:
= 13x^4 - 19x^8 - 13x^2 + 19x^4
= -13x^2 + 49x^4 - 19x^8

Passo 5

Agora, colocamos essa diferença no numerador do limite:
raiz[3]x^4+1 - raiz[3]x^2+1x^2 approx -13x^2 + 49x^4 - 19x^8x^2
Dividindo cada termo por x^2:
= -13 + 49x^2 - 19x^6

Passo 6

Por fim, vamos calcular o limite conforme x se aproxima de 0:
lim x 0 ( -13 + 49x^2 - 19x^6 ) = -13
Os termos que contêm x desaparecem porque x^2 e x^6 vão para 0 quando x 0.

Resposta

O limite é -dfrac13.

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