(2.0 pontos)
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
Aqui, estamos lidando com limites e funções radicais de índice 3. Para resolver isso, vamos precisar usar a expansão em série de Taylor para aproximações de funções próximas de 1.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como expandir uma função da forma
quando
é pequeno. A fórmula da série de Taylor para essa expressão é:
Nesse caso, vamos aplicar isso para as duas raízes cúbicas no numerador.
Passo 3
Vamos expandir
e
usando a fórmula acima com
.
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, vamos subtrair as duas aproximações que obtivemos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, colocamos essa diferença no numerador do limite:
Dividindo cada termo por
:
Passo 6
Por fim, vamos calcular o limite conforme
se aproxima de 0:
Os termos que contêm
desaparecem porque
e
vão para 0 quando
.
Resposta
O limite é
.