Considere a função f(x, y) = -2 / (x^2 + y^2).
Faça um mapa de contorno de f com, no mínimo, 5 curvas de nível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função de duas variáveis, , e pede pra gente fazer um mapa de contorno com pelo menos 5 curvas de nível. Basicamente, um mapa de contorno mostra onde a função tem valores iguais, e essas curvas ajudam a visualizar como a função se comporta no espaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que são curvas de nível. Uma curva de nível para uma função de duas variáveis é o conjunto de pontos (x, y) que fazem a função assumir o mesmo valor constante k. Ou seja, para cada k, resolvemos a equação .

Passo 3

Vamos colocar nossa função nessa equação:
Queremos encontrar x e y em termos de k. Multiplicando ambos os lados por e depois isolando, temos:
Note que é sempre positivo ou zero, então para a equação fazer sentido, k precisa ser negativo. Isso significa que escolheremos valores de k negativos para nossas curvas de nível.

Passo 4

Vamos escolher 5 valores negativos para k. Por exemplo:
Agora, para cada k, vamos calcular o raio da curva de nível. A equação representa um círculo centrado na origem com raio .
Calculando os raios:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Com esses raios, podemos desenhar 5 círculos concêntricos (todos centrados na origem) no plano xy. Cada círculo representa uma curva de nível diferente:
  • O círculo mais interno tem raio para .
  • O próximo tem raio para .
  • Depois, raio para .
  • Em seguida, raio para .
  • E por fim, raio para .
Esses círculos mostram como a função f(x, y) varia no espaço: conforme nos afastamos da origem, o valor de f(x, y) aumenta (fica menos negativo).

Resposta

O mapa de contorno de com 5 curvas de nível é composto por círculos concêntricos centrados na origem com raios aproximadamente , , , e , correspondentes aos valores de nível , , , e , respectivamente.

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