Considere a função
.
Faça um mapa de contorno de
com, no mínimo, 5 curvas de nível.
Faça um mapa de contorno de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função de duas variáveis,
, e pede pra gente fazer um mapa de contorno com pelo menos 5 curvas de nível. Basicamente, um mapa de contorno mostra onde a função tem valores iguais, e essas curvas ajudam a visualizar como a função se comporta no espaço.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que são curvas de nível. Uma curva de nível para uma função de duas variáveis é o conjunto de pontos
que fazem a função assumir o mesmo valor constante
. Ou seja, para cada
, resolvemos a equação
.
Passo 3
Vamos colocar nossa função nessa equação:
Queremos encontrar
e
em termos de
. Multiplicando ambos os lados por
e depois isolando, temos:
Note que
é sempre positivo ou zero, então para a equação fazer sentido,
precisa ser negativo. Isso significa que escolheremos valores de
negativos para nossas curvas de nível.
Passo 4
Vamos escolher 5 valores negativos para
. Por exemplo:
Agora, para cada
, vamos calcular o raio da curva de nível. A equação
representa um círculo centrado na origem com raio
.
Calculando os raios:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Passo 5
Com esses raios, podemos desenhar 5 círculos concêntricos (todos centrados na origem) no plano
. Cada círculo representa uma curva de nível diferente:
- O círculo mais interno tem raio
para . - O próximo tem raio
para . - Depois, raio
para . - Em seguida, raio
para . - E por fim, raio
para .
Esses círculos mostram como a função
varia no espaço: conforme nos afastamos da origem, o valor de
aumenta (fica menos negativo).
Resposta
O mapa de contorno de
com 5 curvas de nível é composto por círculos concêntricos centrados na origem com raios aproximadamente
,
,
,
e
, correspondentes aos valores de nível
,
,
,
e
, respectivamente.