Considere a função f(x, y) = 4x^2 + 4y^2 - 1.
Faça um mapa de contorno de f com, no mínimo, 5 curvas de nível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para fazer um mapa de contorno da função usando pelo menos 5 curvas de nível. Isso está dentro da matéria de cálculo multivariável, onde estudamos funções com mais de uma variável e como elas se comportam no espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como determiná-las para essa função específica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Elas são linhas no plano onde a função assume um valor constante. Ou seja, para diferentes valores de , a curva de nível é definida por . Essas curvas nos ajudam a visualizar como a função se comporta em diferentes pontos do plano.

Passo 3

Agora, vamos escolher 5 valores diferentes para e encontrar as correspondentes curvas de nível da função . Vamos escolher valores que facilitem os cálculos, como .

Passo 4

Para cada valor de , vamos resolver a equação :
  1. Para :
    Isso só é verdadeiro quando e , então temos apenas o ponto .
  2. Para :
    Essa é uma circunferência com raio centrada na origem.
  3. Para :
    Outra circunferência, agora com raio .
  4. Para :
    Circunferência com raio .
  5. Para :
    Circunferência com raio 1, conhecida como a circunferência unitária.

Passo 5

Com todas as curvas de nível determinadas, podemos agora desenhar o mapa de contorno. No gráfico, vamos plotar todas as circunferências que encontramos:
  • Um ponto no centro para .
  • Circunferência com raio para .
  • Circunferência com raio para .
  • Circunferência com raio para .
  • Circunferência unitária para .
Essas curvas se concentram todas na origem e aumentam de raio conforme o valor de aumenta.

Resposta

O mapa de contorno da função consiste em cinco curvas de nível:
  1. Um ponto na origem para .
  2. Circunferência com raio para .
  3. Circunferência com raio para .
  4. Circunferência com raio para .
  5. Circunferência unitária para .
Essas curvas formam círculos concêntricos que ilustram como a função varia no plano .

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