Considere a função
.
Faça um mapa de contorno de
com, no mínimo, 5 curvas de nível.
Faça um mapa de contorno de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para fazer um mapa de contorno da função
usando pelo menos 5 curvas de nível. Isso está dentro da matéria de cálculo multivariável, onde estudamos funções com mais de uma variável e como elas se comportam no espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como determiná-las para essa função específica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Elas são linhas no plano
onde a função assume um valor constante. Ou seja, para diferentes valores de
, a curva de nível é definida por
. Essas curvas nos ajudam a visualizar como a função se comporta em diferentes pontos do plano.
Passo 3
Agora, vamos escolher 5 valores diferentes para
e encontrar as correspondentes curvas de nível da função
. Vamos escolher valores que facilitem os cálculos, como
.
Passo 4
Para cada valor de
, vamos resolver a equação
:
-
Para
: Isso só é verdadeiro quandoe , então temos apenas o ponto . -
Para
: Essa é uma circunferência com raiocentrada na origem. -
Para
: Outra circunferência, agora com raio. -
Para
: Circunferência com raio. -
Para
: Circunferência com raio 1, conhecida como a circunferência unitária.
Passo 5
Com todas as curvas de nível determinadas, podemos agora desenhar o mapa de contorno. No gráfico, vamos plotar todas as circunferências que encontramos:
- Um ponto no centro para
. - Circunferência com raio
para . - Circunferência com raio
para . - Circunferência com raio
para . - Circunferência unitária para
.
Essas curvas se concentram todas na origem e aumentam de raio conforme o valor de
aumenta.
Resposta
O mapa de contorno da função
consiste em cinco curvas de nível:
- Um ponto na origem para
. - Circunferência com raio
para . - Circunferência com raio
para . - Circunferência com raio
para . - Circunferência unitária para
.
Essas curvas formam círculos concêntricos que ilustram como a função
varia no plano
.