Considere a função f(x, y) = -raiz(9*x^2 + 9*y^2).
Determine o domínio e o conjunto imagem de f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função . O que a gente precisa descobrir aqui é o domínio e o conjunto imagem dessa função. O conteúdo que vamos usar envolve funções de duas variáveis e raízes quadradas. Para resolver, vamos analisar onde a função está bem definida e quais valores ela pode assumir.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são todos os pares que fazem a função existir, ou seja, onde a expressão dentro da raiz quadrada é maior ou igual a zero, já que não dá pra tirar raiz quadrada de número negativo.
A expressão dentro da raiz é . Como e sempre são maiores ou iguais a zero (porque ao elevar ao quadrado qualquer número fica positivo ou zero), a soma deles também é sempre maior ou igual a zero. Multiplicando por 9, que é um número positivo, não muda essa característica. Então:
Isso significa que a função está definida para todos os números reais e . Logo, o domínio é todo o plano .

Passo 3

Agora, vamos determinar o conjunto imagem da função, ou seja, todos os possíveis valores que pode assumir.
A função é . Como sempre é não negativo (ou seja, zero ou positivo), ao multiplicar por -1, a função sempre será não positiva (zero ou negativo).
Além disso, pode crescer sem limite à medida que e aumentam, então pode ir até .
Portanto, os valores possíveis de vão de até zero.

Resposta

O domínio de é todo o plano e o conjunto imagem de é .

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