Considere a função
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Determine o domínio e o conjunto imagem de
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Determine o domínio e o conjunto imagem de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
. O que a gente precisa descobrir aqui é o domínio e o conjunto imagem dessa função. O conteúdo que vamos usar envolve funções de duas variáveis e raízes quadradas. Para resolver, vamos analisar onde a função está bem definida e quais valores ela pode assumir.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são todos os pares
que fazem a função existir, ou seja, onde a expressão dentro da raiz quadrada é maior ou igual a zero, já que não dá pra tirar raiz quadrada de número negativo.
A expressão dentro da raiz é
. Como
e
sempre são maiores ou iguais a zero (porque ao elevar ao quadrado qualquer número fica positivo ou zero), a soma deles também é sempre maior ou igual a zero. Multiplicando por 9, que é um número positivo, não muda essa característica. Então:
Isso significa que a função está definida para todos os números reais
e
. Logo, o domínio é todo o plano
.
Passo 3
Agora, vamos determinar o conjunto imagem da função, ou seja, todos os possíveis valores que
pode assumir.
A função é
. Como
sempre é não negativo (ou seja, zero ou positivo), ao multiplicar por -1, a função
sempre será não positiva (zero ou negativo).
Além disso,
pode crescer sem limite à medida que
e
aumentam, então
pode ir até
.
Portanto, os valores possíveis de
vão de
até zero.
Resposta
O domínio de
é todo o plano
e o conjunto imagem de
é
.