Considere a função f(x, y) = -5 * raiz(x^2 + y^2).
Determine o domínio e o conjunto imagem de f.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função . Precisamos determinar o domínio e o conjunto imagem dessa função. Para isso, vamos utilizar conceitos básicos de funções multivariadas e propriedades da raiz quadrada.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares para os quais a função está definida.
Observamos que a função envolve uma raiz quadrada: . Para que a raiz quadrada esteja definida nos números reais, o que está dentro dela, ou seja, , deve ser maior ou igual a zero.
Como e são sempre positivos ou zero para quaisquer números reais e , a soma também será sempre maior ou igual a zero. Portanto, não há restrições para os valores de e .

Passo 3

Agora, vamos determinar o conjunto imagem da função, que são todos os possíveis valores que a função pode assumir.
A expressão representa a distância do ponto até a origem no plano cartesiano, e essa distância é sempre não negativa, ou seja, .
Multiplicando essa distância por , temos . Como estamos multiplicando um número não negativo por , o resultado será sempre menor ou igual a zero.

Resposta

O domínio da função é (todos os pares de números reais) e o conjunto imagem é .

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