Considere a função
.
Determine o domínio e o conjunto imagem de
.
Determine o domínio e o conjunto imagem de
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função
. Precisamos determinar o domínio e o conjunto imagem dessa função. Para isso, vamos utilizar conceitos básicos de funções multivariadas e propriedades da raiz quadrada.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida.
Observamos que a função envolve uma raiz quadrada:
. Para que a raiz quadrada esteja definida nos números reais, o que está dentro dela, ou seja,
, deve ser maior ou igual a zero.
Como
e
são sempre positivos ou zero para quaisquer números reais
e
, a soma
também será sempre maior ou igual a zero. Portanto, não há restrições para os valores de
e
.
Passo 3
Agora, vamos determinar o conjunto imagem da função, que são todos os possíveis valores que a função
pode assumir.
A expressão
representa a distância do ponto
até a origem no plano cartesiano, e essa distância é sempre não negativa, ou seja,
.
Multiplicando essa distância por
, temos
. Como estamos multiplicando um número não negativo por
, o resultado será sempre menor ou igual a zero.
Resposta
O domínio da função
é
(todos os pares
de números reais) e o conjunto imagem é
.