Considere a função f(x, y) = x^2 + 9y^2 + 1.
Determine o domínio e o conjunto imagem de f.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função . Precisamos determinar o domínio (quais valores de e podemos usar) e o conjunto imagem (quais valores pode assumir).

Passo 2

Determinar o domínio:
Para encontrar o domínio, precisamos identificar todos os valores de e para os quais a função está definida. A função é uma combinação de termos quadráticos e uma constante. Não há nenhuma operação que imponha restrições, como divisão por zero ou raízes pares de números negativos.
Como os quadrados de qualquer número real são sempre não negativos e estamos somando números reais, a função está definida para todos os números reais e .

Passo 3

Determinar o conjunto imagem:
Agora, vamos ver quais valores pode assumir. Sabemos que:
Então, somando esses resultados:
Isso significa que o menor valor que pode ter é 1. Além disso, como e podem ser números cada vez maiores, pode crescer sem limites. Portanto, o conjunto imagem começa em 1 e vai até o infinito.

Resposta

O domínio de é (todos os pares de números reais). O conjunto imagem de é .

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