Considere a função
f(x, y)=cc xy^2+x y, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
b) (0,5) Calcule as derivadas parciais de f para (x, y)=(0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função $ f(x, y) $ definida de forma diferente dependendo dos valores de $ x $ e $ y $. A parte que precisamos resolver é calcular as derivadas parciais de $ f $ no ponto $ (0, 0) $. Para isso, vamos usar os conceitos de derivadas parciais e limites, que são fundamentais no cálculo multivariável.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são derivadas parciais. A derivada parcial de uma função em relação a $ x $ em um ponto específico mede como a função muda quando movemos apenas na direção $ x $ mantendo $ y $ constante. O mesmo vale para a derivada parcial em relação a $ y $.

Passo 3

Para calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ no ponto $ (0, 0) $, usamos a definição:
f
Sabemos que $ f(0, 0) = 0 $, então a expressão simplifica para:
x

Passo 4

Agora, vamos encontrar $ f(h, 0) $. Substituindo $ y = 0 $ na definição da função:
f(h, 0)
Aqui, estamos dividindo por zero, o que é indefinido. Isso indica que o limite não existe ou tende ao infinito.

Passo 5

Como o limite para a derivada parcial em relação a $ x $ não existe, concluímos que $ f_x(0,0) $ não está definido.

Passo 6

Vamos repetir o mesmo procedimento para a derivada parcial em relação a $ y $:
y
Como $ f(0, 0) = 0 $, temos:
fy(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0, 0)k

Passo 7

Substituindo $ x = 0 $ na função:
x = 0
Então,
f(0, k) = 0k^2 + 0 cdot k = 0k^2 = 0

Resposta

A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ no ponto $ (0, 0) $ não existe, e a derivada parcial em relação a $ y $ é igual a zero.

Exercícios relacionados