Considere a função
b)
Calcule as derivadas parciais de
para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função $ f(x, y) $ definida de forma diferente dependendo dos valores de $ x $ e $ y $. A parte que precisamos resolver é calcular as derivadas parciais de $ f $ no ponto $ (0, 0) $. Para isso, vamos usar os conceitos de derivadas parciais e limites, que são fundamentais no cálculo multivariável.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são derivadas parciais. A derivada parcial de uma função em relação a $ x $ em um ponto específico mede como a função muda quando movemos apenas na direção $ x $ mantendo $ y $ constante. O mesmo vale para a derivada parcial em relação a $ y $.
Passo 3
Para calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ no ponto $ (0, 0) $, usamos a definição:
Sabemos que $ f(0, 0) = 0 $, então a expressão simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos encontrar $ f(h, 0) $. Substituindo $ y = 0 $ na definição da função:
Aqui, estamos dividindo por zero, o que é indefinido. Isso indica que o limite não existe ou tende ao infinito.
Passo 5
Como o limite para a derivada parcial em relação a $ x $ não existe, concluímos que $ f_x(0,0) $ não está definido.
Passo 6
Vamos repetir o mesmo procedimento para a derivada parcial em relação a $ y $:
Como $ f(0, 0) = 0 $, temos:
Passo 7
Substituindo $ x = 0 $ na função:
Então,
Resposta
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ no ponto $ (0, 0) $ não existe, e a derivada parcial em relação a $ y $ é igual a zero.