Determinar os pontos críticos das seguintes funçōes, se existitem.
f(x)=\frac{1+\operatorname{sen} x}{1-\operatorname{sen} x}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{1+\operatorname{sen} x}{1-\operatorname{sen} x}
e pede os pontos críticos, ou seja, os x em que f'(x)=0 ou f' é indefinida. Para resolver precisamos (i) determinar o domínio de f, (ii) calcular f'(x) usando a regra do quociente e (iii) encontrar onde esse derivado se anula ou deixa de existir.

Passo 2

Primeiro encontramos o domínio de f. A única restrição vem do denominador 1-\operatorname{sen} x\neq0, logo
1-\operatorname{sen} x\neq0 \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{sen} x\neq1 \quad\Longrightarrow\quad x\neq\frac\pi2+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.

Passo 3

Agora calculamos f'(x). Definimos
u(x)=1+\operatorname{sen} x, \quad v(x)=1-\operatorname{sen} x,
de modo que f(x)=u(x)/v(x). Então
u'(x)=\cos x, \quad v'(x)=-\cos x,
e pela regra do quociente
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^2} =\frac{\cos x\,(1-\operatorname{sen} x)-\bigl(1+\operatorname{sen} x\bigr)(-\,\cos x)}{(1-\operatorname{sen} x)^2}.

Passo 4

Simplificando o numerador,
\cos x\,(1-\operatorname{sen} x)+\cos x\,(1+\operatorname{sen} x) =\cos x-\cos x\,\operatorname{sen} x+\cos x+\cos x\,\operatorname{sen} x =2\cos x.
Portanto
f'(x)=\frac{2\cos x}{(1-\operatorname{sen} x)^2}.

Passo 5

Para achar onde f'(x)=0 basta zerar o numerador, isto é
2\cos x=0 \quad\Longrightarrow\quad \cos x=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac\pi2+k\pi,\;k\in\mathbb Z.
Destes, devemos descartar os que não estão no domínio, ou seja, aqueles em que \operatorname{sen} x=1. Note que
\operatorname{sen}\Bigl(\tfrac\pi2+2\pi m\Bigr)=1,
portanto x=\pi/2+2\pi m é excluído. Sobram os valores com k ímpar, equivalentes a
x=\frac{3\pi}{2}+2\pi m,\quad m\in\mathbb Z,
onde \cos x=0 e \operatorname{sen} x=-1, logo f'(x)=0 e esses pontos estão no domínio.

Passo 6

Por fim, verificamos onde f' é indefinida: isso ocorreria se (1-\operatorname{sen} x)^2=0, ou seja \operatorname{sen} x=1, mas esses x=\pi/2+2\pi k já não estão no domínio de f. Portanto não há pontos críticos dessa natureza.

Resposta

Os pontos críticos de f são
x=\frac{3\pi}{2}+2\pi k, \quad k\in\mathbb Z,
pois nesses x temos f'(x)=0 e f está bem definida.

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