Considere a função f(x, y) dada abaixo. Encontre os pontos críticos e classifique-os, ou seja, verifique se a função possui ponto(s) de máximo, mínimo, sela (verifique as condições de primeira e segunda ordem).
f(x, y)=\frac{1}{3} x+\frac{2}{3} \ln y-x^{2}-y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função
f(x,y)=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\ln y - x^{2} - y,
cujo domínio é y>0. Vamos usar o teste de primeira ordem (derivadas parciais iguais a zero) para achar pontos críticos e o teste de segunda ordem (Hessiana) para classificá-los.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{3} - 2x,
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2}{3}\,\frac{1}{y} \;-\;1.

Passo 3

Impondo
\frac{\partial f}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 0,
temos
\frac{1}{3} - 2x = 0 \;\Rightarrow\; x = \frac{1}{6},
\frac{2}{3}\frac{1}{y} - 1 = 0 \;\Rightarrow\; y = \frac{2}{3}.
Logo, o único ponto crítico é \bigl(\tfrac{1}{6},\,\tfrac{2}{3}\bigr).

Passo 4

Para classificar, montamos a Hessiana H:
f_{xx} = -2, \quad f_{xy} = 0, \quad f_{yy} = -\frac{2}{3}\,\frac{1}{y^{2}}.
No ponto \bigl(\tfrac{1}{6},\tfrac{2}{3}\bigr) vale
f_{xx} = -2, \quad f_{yy} = -\frac{2}{3}\frac{1}{(\tfrac{2}{3})^{2}} = -\tfrac{3}{2}, \quad \det(H) = (-2)\times\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr) = 3 > 0.
Como \det(H)>0 e f_{xx}<0, o ponto é de máximo local.

Resposta

O único ponto crítico é \bigl(\tfrac{1}{6},\tfrac{2}{3}\bigr), que é um ponto de máximo local.

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