1. Faça um gráfico de tanh (x), determine seu domínio, imagem e paridade.

Passo 1

O enunciado pede que tracemos o gráfico da função hiperbólica \operatorname{tanh}(x), e que determinemos seu domínio, imagem e paridade. O conteúdo necessário envolve a definição
\operatorname{tanh}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}},
análise de limite para achar as assíntotas horizontais e verificação da paridade pela propriedade de simetria.

Passo 2

Para achar o domínio, observamos o denominador
e^{x}+e^{-x}>0
para todo x\in\mathbb{R}. Não há zeros no denominador nem pontos de descontinuidade, portanto
\text{Domínio}=\mathbb{R}.í

Passo 3

Para a imagem, calculamos os limites nas extremidades:
\lim_{x\to+\infty}\operatorname{tanh}(x)=1, \qquad \lim_{x\to-\infty}\operatorname{tanh}(x)=-1.
Como \operatorname{tanh}(x) é contínua e estritamente crescente, seus valores percorrem todo o intervalo entre -1 e 1 sem atingi-los. Logo
\text{Imagem}=(-1,\,1).

Passo 4

Verificamos a paridade usando
\operatorname{tanh}(-x) =\frac{e^{-x}-e^{x}}{e^{-x}+e^{x}} =-\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} =-\operatorname{tanh}(x).
Isso mostra que \operatorname{tanh} é função ímpar.

Passo 5

Descrição do gráfico de \operatorname{tanh}(x):
– É uma curva em “S” centrada na origem.
– Passa por (0,0).
– Tem assíntotas horizontais y=1 para x\to+\infty e y=-1 para x\to-\infty.
– É estritamente crescente.
Um esboço aproximado em ASCII:
    \(1+\)               __________
      |              /
      |             /
    \(0+\)------------/------------
      |           /
   -\(1+\)_________/
      |
      \(+\) -\(\infty 0 \infty\)

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: (-1,\,1)
Paridade: ímpar

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